快乐数是反复将各位数字平方和相加最终得1的正整数；非快乐数必落入4→16→37→58→89→145→42→20→4循环，可用快慢指针O(1)空间检测环。
什么是快乐数？先看判定逻辑
快乐数的定义是：对一个正整数反复做「各位数字平方和」运算，最终结果为 1，则它是快乐数；如果进入循环且永远到不了 1，就不是快乐数。关键不是算多少轮，而是判断是否陷入循环——这本质上是个环检测问题。
用快慢指针检测循环（推荐解法）
暴力存 visited 集合虽直观，但额外空间开销大；而 slow 和 fast 两个指针模拟龟兔赛跑，空间 O(1)，且天然适配这种“函数迭代产生链表”的场景。
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nextNumber()函数必须正确实现：取模求个位、整除去个位，别漏掉最后一位（常见错误是循环条件写成n > 0却在循环内没更新n） - 初始时
slow = n，fast = nextNumber(n)，避免一开始就相等导致提前退出 - 循环条件用
slow != fast，内部每次更新：slow = nextNumber(slow)，fast = nextNumber(nextNumber(fast)) - 跳出循环后，只需检查
slow == 1即可，不用再判fast
手动模拟时容易卡在哪几步？
手算验证时，常因中间值算错导致误判。比如 19：1²+9²=82 → 8²+2²=68 → 6²+8²=100 → 1²+0²+0²=1，是快乐数；但有人把 68 算成 6²+8=44，就全错了。
- 务必逐位取数字：用
n % 10取末位，n / 10整除去末位，别用字符串转换（虽可行但绕远且易出边界） - 注意整型溢出风险：输入最大是
INT_MAX（约 2e9），其各位平方和最大为 9²×10 = 810，完全不会溢出，无需 long - 不要提前终止：即使某次得到 1，也要确保是最终稳定态——但按定义，1 的下一轮还是 1，所以只要出现 1 就可返回 true
为什么不能只看是否重复出现某个数？
单纯记录已见过的数（如 unordered_set）也能判循环，但快慢指针更省空间。不过要注意：不是所有中间值都需记录，比如 2→4→16→37→58→89→145→42→20→4，这里 4 第二次出现才成环，但第一次出现时无法预知。
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- 用 set 判重时，插入前先查是否存在，存在即环，返回 false；等于 1 时返回 true
- 快慢指针中，
fast走两步、slow走一步，只要存在环，二者必相遇——这是 Floyd 算法保证的，不依赖具体数值分布 - 两者时间复杂度都是 O(log n) 级别（因为数字位数有限，平方和会快速收敛到三位数以内）
实际写 nextNumber 时，最简实现就是 while 循环加 sum += digit * digit，别试图用 log10 或 to_string——多此一举还容易出 bug。判定的核心不在数学技巧，而在正确建模「迭代序列是否有环」这个事实。
