<p>两球碰撞当且仅当球心距离平方小于等于半径之和的平方，即 dist_sq <= (r1 + r2) * (r1 + r2)，需引入 EPS 避免浮点误差，且应直接比较平方量以提升性能与稳定性。</p>
怎么算两个球心距离
判断球体关系的核心是球心距离与半径之和、半径之差的比较。先拿到两个球的中心坐标 center1 和 center2（比如 std::array<double></double> 或自定义结构体），再用欧氏距离公式算平方距离，避免开方——既快又稳：
double dx = center1[0] - center2[0]; double dy = center1[1] - center2[1]; double dz = center1[2] - center2[2]; double dist_sq = dx*dx + dy*dy + dz*dz;
注意：永远优先比较 dist_sq 和半径的平方，而不是调用 sqrt()。浮点误差小、性能高，且能规避 sqrt(-0.0) 等边界问题。
碰撞（相交）的判定条件是什么
两球发生碰撞（即有重叠区域，含相切）当且仅当球心距离 ≤ 半径之和。用平方形式写就是：
double r1 = sphere1.radius; double r2 = sphere2.radius; bool is_colliding = dist_sq <= (r1 + r2) * (r1 + r2);
常见错误：
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- 误用
<而非<=，导致相切时判定为“未碰撞” - 把
r1 + r2平方写成r1*r1 + r2*r2，漏掉交叉项 - 没处理
r1或r2为负数的情况（应提前校验半径非负）
怎么判断一个球完全包含另一个球
球 A 包含球 B（B 完全在 A 内部，含内切）的充要条件是：球心距 + B 的半径 ≤ A 的半径。注意方向性——不是对称关系：
// sphere1 是否包含 sphere2？ bool contains = dist_sq <= (r1 - r2) * (r1 - r2) && r1 >= r2;
关键点：
- 必须加
r1 >= r2判断，否则当r1 < r2时，(r1 - r2)²仍为正，会导致误判 - 等号成立时是内切，属于包含；若要求“严格内部”，改用
<并去掉等号 - 不要用
dist_sq + r2*r2 <= r1*r1—— 数学等价但易溢出，尤其当半径很大时
要不要考虑浮点精度问题
实际工程中必须考虑。哪怕只差一个 ulp，也可能让相切变成“略分离”或“略穿透”。建议引入小阈值 EPS：
constexpr double EPS = 1e-9; bool is_colliding = dist_sq <= (r1 + r2) * (r1 + r2) + EPS; bool contains = r1 >= r2 && dist_sq <= (r1 - r2) * (r1 - r2) + EPS;
但 EPS 不是越大越好：设太大可能把本不接触的球判为碰撞；设太小则起不到修正作用。典型场景下 1e-9 对 double 坐标足够，若坐标量级达 1e6 以上，需按比例放大 EPS（例如 1e-3）。没有银弹，得看你的数据范围。
