三角数是能表示为k(k+1)/2（k为正整数）的正整数；判定条件为：1+8n是非负完全平方数且其平方根为奇数。
什么是三角数，以及它的数学判定条件
一个正整数 n 是三角数，当且仅当它能写成 k*(k+1)/2 的形式（k 为正整数）。换言之，存在某个整数 k ≥ 1，使得 n = k(k+1)/2。
把等式变形：两边乘 2 得 2n = k² + k，即 k² + k − 2n = 0。这是关于 k 的一元二次方程，判别式为 Δ = 1 + 8n。要使 k 为正整数，需满足两个条件：
-
1 + 8n必须是非负完全平方数（即开方后是整数） - 开方结果
sqrt(1 + 8n)必须是奇数（因为k = (-1 + sqrt(1 + 8n)) / 2要为整数，分子必须是偶数 → sqrt 必须是奇数）
所以最直接的判定逻辑就是：计算 root = sqrt(1 + 8n)，检查 root 是否为整数，且 (root - 1) % 2 == 0（即 root 是奇数），同时 root * root == 1 + 8 * n（避免浮点误差）。
C++中用 sqrt 判定时的精度陷阱
sqrt 返回 double，对大整数（比如接近 INT_MAX）容易因浮点舍入导致误判。例如 n = 499999999 时，1 + 8*n 是完全平方数，但 sqrt 可能返回略小于真实根的值，取整后偏小，再平方就对不上。
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稳妥做法是：先算 long long disc = 1LL + 8LL * n（防溢出），再用 sqrt 得到近似根，四舍五入取整，然后验证该整数的平方是否等于 disc：
long long disc = 1LL + 8LL * static_cast<long long>(n); long long root = static_cast<long long>(std::round(std::sqrt(static_cast<double>(disc)))); if (root * root != disc) return false; return (root & 1) == 1; // root 是奇数
注意：std::round 比 static_cast<long long> 直接截断更安全；disc 必须用 long long，否则 int 乘法溢出。
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不依赖浮点数的整数解法（推荐用于竞赛或高可靠性场景）
用二分查找直接在 [1, sqrt(2n)+1] 范围内搜索满足 k*(k+1)/2 == n 的整数 k。时间复杂度 O(log n)，但完全规避浮点误差，且对任意大小的 long long n 都适用。
关键点：
- 上界可设为
2 * sqrt(n) + 10或更保守地用1LL << ((sizeof(long long)*8-1)/2 + 1)，但实际常用1LL << 32对于int输入已足够 - 计算
k*(k+1)/2时注意溢出：先判断k是否过大，或改用k/2.0*(k+1)？不行——又引入浮点。正确做法是：若k > 2000000就提前 break，或用__builtin_mul_overflow（GCC）或手动检查乘法溢出 - 更简洁的做法：用
low = 1, high = std::min(2000000LL, static_cast<long long>(n))，因为三角数增长快，k ≈ sqrt(2n)
示例核心逻辑：
long long l = 1, r = std::min(2000000LL, static_cast<long long>(n));
while (l <= r) {
long long mid = l + (r - l) / 2;
long long tri = mid * (mid + 1) / 2;
if (tri == n) return true;
if (tri < n) l = mid + 1;
else r = mid - 1;
}
return false;封装成通用函数时要注意的边界和类型
输入可能是负数、零、或极大值。三角数定义通常只针对正整数，所以 n ≤ 0 应直接返回 false（除非题目特别说明 0 是第 0 个三角数）。
函数签名建议用 long long 输入，避免 int 溢出影响判定：
bool isTriangular(long long n) {
if (n <= 0) return false;
long long disc = 1LL + 8LL * n;
long long root = static_cast<long long>(std::round(std::sqrt(static_cast<double>(disc))));
if (root < 0 || root * root != disc) return false;
return (root & 1) == 1;
}如果项目禁用 <cmath> 或要求无浮点，就用二分版本；如果输入范围明确在 int 内且性能敏感，sqrt 版本更快。两者都得处理 disc 溢出——n 接近 LLONG_MAX/8 时，1 + 8*n 会溢出，此时可直接返回 false（因为不可能是三角数）。
真正容易被忽略的是：没检查 n 类型是否带符号，或把 unsigned int 当作 int 传入导致高位扩展异常；还有没意识到 sqrt 在某些平台对大整数返回 inf，导致后续计算崩溃。
