1、 正定矩阵的概念源自双线性型的自然拓展。

2、 考虑一个双线性型表达式=XAY，其中X表示向量X的转置。

3、 当满足如下条件时：

4、 在Mathematica中，X.A.Y即对应此双线性型，其运算结果为：

5、 若矩阵A是正定的，则对任意非零向量X，该二次型恒取正值。

6、 借助Mathematica推导参数a、b、c、d需满足的约束条件。

7、 若A为实对称矩阵，数值与符号计算的稳定性及效率往往更高。

8、 综合分析后可得最终判定条件：

9、 d > 0 且 b² > a d。

10、 对于2×2阶矩阵而言，左上角元素a与右下角元素d在正定性判定中地位等价。

11、 标准判别法要求依次考察各阶顺序主子式（即从左上角截取的1×1、2×2子矩阵），并确保其行列式全部严格大于零；因此第4步结论等价于：所有顺序主子式均为正数。

12、 即要求a > 0 且 b² > a d。

13、 推广至三维情形时，仍须以A为实对称矩阵为前提。

14、 然而，Mathematica给出的结果未如经典教材中所列那般简洁、直观的充要条件。