应优先使用np.linalg.eigh()：它专为实对称/厄米特矩阵设计，返回实数特征值和正交归一化特征向量，计算更快更稳定；而eig()对实对称矩阵仍返回复数特征值且不保证特征向量正交。
用 numpy.linalg.eig 计算实对称矩阵的特征值和特征向量
实对称矩阵（如协方差矩阵、拉普拉斯矩阵）用 numpy.linalg.eig 没问题，但结果中特征向量不正交归一化，且特征值是复数类型（即使输入为实数），容易误判。若只关心数值精度和速度，eig 足够；但若后续要验证 A @ v == λ * v 或做 PCA，建议优先用 eigh。
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eig返回的是(eigenvalues, eigenvectors)元组，其中eigenvectors[:, i]对应第i个特征值，不是行向量 - 特征向量按列存储，每列是单位向量（已归一化），但不保证正交——除非矩阵严格对称（浮点误差可能导致
A.T != A） - 若输入是
float64实矩阵，eig仍返回complex128特征值，需用.real提取（但可能掩盖非对称导致的虚部）
实对称/厄米特矩阵必须用 numpy.linalg.eigh
只要矩阵数学上是对称的（或复数域下的厄米特），就该无条件选 eigh：它强制利用对称性，计算更快、更稳定，且返回实数特征值和正交归一化的特征向量。
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eigh自动检测并利用对称性，比eig快约 2–3 倍，尤其在n > 1000时差异明显 - 返回的特征值是
float64类型，无需.real过滤；特征向量矩阵满足V.T @ V == I（数值上接近单位阵） - 注意：它只读取下三角（或上三角）部分，因此即使你传入
A + A.T修正过的矩阵，也建议先用np.triu(A) + np.tril(A, -1).T显式对称化，避免底层优化误判
遇到 LinAlgError: Eigenvalues did not converge 怎么办
这个错误通常不是因为矩阵奇异，而是数值病态：特征值间距过小、矩阵严重非对称、或含极大极小混合量级的元素（如同时有 1e-15 和 1e8）。
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- 先检查对称性：
np.allclose(A, A.T, atol=1e-10)，不满足就别硬用eigh - 尝试预处理：对矩阵做相似变换，例如用
np.diag(1/np.sqrt(np.diag(A))) @ A @ np.diag(1/np.sqrt(np.diag(A)))（对角缩放），缓解条件数问题 - 若只需前
k个最大特征值，改用scipy.sparse.linalg.eigsh（配合which='LM'），它基于 Arnoldi 迭代，对大型稀疏矩阵更鲁棒
特征向量方向不确定？这是正常现象
NumPy 不保证特征向量符号一致性——同一矩阵多次调用 eig 或 eigh，可能得到相反方向的向量（比如 [0.707, -0.707] 和 [-0.707, 0.707] 都合法）。这在 PCA、谱聚类等场景中常被忽略，导致结果不可复现。
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- 标准化做法：对每个特征向量，强制让第一个非零元为正，用
v *= np.sign(v[np.argmax(np.abs(v))]) - 若用于跨进程/跨机器比较，必须加这步；否则仅作中间计算可跳过
- 注意：该操作不改变正交性或特征方程成立性，只是约定方向
数值稳定性与方向约定这两点，实际项目里最容易被跳过，但恰恰是调试周期拉长的主因。
