本文介绍如何使用 SciPy 的 milp 求解器，构建整数线性规划模型，精确计算 7 天的每日权重，使其严格递减、和为 7，并确保恰好 7 个用户的加权平均消费值低于指定阈值（如 11）。

本文介绍如何使用 scipy 的 `milp` 求解器，构建整数线性规划模型，精确计算 7 天的每日权重，使其严格递减、和为 7，并确保**恰好 7 个用户**的加权平均消费值低于指定阈值（如 11）。

在时间序列加权分析中，仅靠指数衰减等启发式方法难以同时满足严格单调性、固定和约束与精确达标数量控制（如“恰好 7/10 用户低于阈值”）三大条件。此时，传统优化手段失效，需转向混合整数线性规划（MILP）——它能通过引入二元决策变量（binary predicates），将逻辑条件（如“加权均值 ≤ 阈值？”）转化为可求解的线性约束。

以下为完整实现流程（基于 scipy.optimize.milp）：

✅ 核心建模要素

• 决策变量：
  • w₀, w₋₁, ..., w₋₆：7 个连续型权重（要求 w₀ > w₋₁ > ... > w₋₆ > 0）；
  • pᵢ ∈ {0,1}（i = 0..9）：10 个二元变量，pᵢ = 1 表示第 i 个用户的加权均值 ≤ 阈值。
• 关键约束：
  1. 和约束：∑wⱼ = 7；
  2. 严格递减：wⱼ − wⱼ₊₁ ≥ ε（ε = 1e-2，避免数值相等）；
  3. 阈值逻辑（大M法）：
     • 若 pᵢ = 1 → (w·df[i]) / 7 ≤ threshold；
     • 若 pᵢ = 0 → (w·df[i]) / 7 > threshold；
       等价于：
       w·df[i] + M·pᵢ ≤ M + 7·threshold（上界）
       w·df[i] + M·pᵢ ≥ 7·threshold（下界）
       其中 M 取足够大值（如 2 * max(row_sum)）；
  4. 精确计数：∑pᵢ = 7。

? 示例代码（精确解）

import numpy as np
import pandas as pd
from scipy.optimize import milp, LinearConstraint, Bounds
import scipy.sparse

# 构造示例数据（10用户 × 7天）
df = pd.DataFrame({
    'day_0': [10,10,10,12,12,13,8,13,8,14],
    'day_-1': [10,13,12,12,13,9,9,10,8,13],
    'day_-2': [14,11,9,9,8,8,8,14,10,13],
    'day_-3': [8,11,12,11,12,13,14,12,12,9],
    'day_-4': [14,8,9,9,8,9,8,8,11,11],
    'day_-5': [14,10,10,12,11,12,13,9,14,14],
    'day_-6': [14,10,10,13,9,10,14,11,14,13]
}, index=range(10))
df.columns = [0, -1, -2, -3, -4, -5, -6]  # 统一列名为整数天数

m, n = df.shape  # m=10 users, n=7 days
threshold = 11
n_up_to_threshold = 7  # 恰好7人满足
M = 2 * df.sum(axis=1).max()  # 大M值

# === 约束定义 ===
# 1. 权重和为7
sum_con = LinearConstraint(
    A=np.concatenate([np.ones(n), np.zeros(m)]),
    lb=7, ub=7
)

# 2. 严格递减（w_j - w_{j+1} >= 1e-2）
dec_con = LinearConstraint(
    A=scipy.sparse.diags_array(
        (np.ones(n-1), -np.ones(n-1)), offsets=(0,1), shape=(n-1, n+m)
    ),
    lb=1e-2
)

# 3. 阈值逻辑约束（大M法）
A_thresh = scipy.sparse.hstack([
    scipy.sparse.csr_matrix(df.values),  # w·df[i]
    scipy.sparse.diags(M * np.ones(m))    # + M·p_i
], format='csc')
thresh_con = LinearConstraint(
    A=A_thresh,
    lb=7*threshold * np.ones(m),
    ub=M + 7*threshold * np.ones(m)
)

# 4. 精确计数：sum(p_i) = 7
count_con = LinearConstraint(
    A=np.concatenate([np.zeros(n), np.ones(m)]),
    lb=n_up_to_threshold, ub=n_up_to_threshold
)

# === 变量边界 ===
bounds = Bounds(
    lb=np.concatenate([np.full(n, 1e-3), np.zeros(m)]),
    ub=np.concatenate([np.full(n, np.inf), np.ones(m)])
)

# === 求解（无目标函数，仅可行性）===
result = milp(
    c=np.zeros(n + m),
    integrality=np.concatenate([np.zeros(n), np.ones(m, dtype=int)]),
    bounds=bounds,
    constraints=[sum_con, dec_con, thresh_con, count_con]
)

if not result.success:
    raise RuntimeError(f"Optimization failed: {result.message}")

weights, preds = result.x[:n], result.x[n:]
means = df @ (weights / 7)

print("✅ 求解成功！")
print(f"每日权重 w₀..w₋₆ = {weights.round(4)}")
print(f"达标用户标识 p₀..p₉ = {preds.astype(int)} → 共{int(preds.sum())}人")
print(f"各用户加权均值:\n{means.round(4)}")

⚠️ 注意事项与进阶建议

• 数值稳定性：严格不等式 > 在 LP 中需用 ≥ ε 近似，ε 过小易导致数值误差，建议 1e-3 ~ 1e-2；
• 大M值选择：M 过大会削弱约束紧致性，应取理论最大可能值（如 2 * max(sum(row))）；
• 无解处理：若 milp 返回 success=False，说明约束冲突（如阈值过低且要求过高达标数），可尝试：
  • 放宽阈值（软约束法，见答案第二部分）；
  • 增加最小权重下限；
  • 检查数据是否存在极端离群值；
• 软约束扩展：当精确阈值不可行时，可将阈值设为变量并最小化其与目标值（如12）的绝对偏差，实现“近似达标”。

该方法将业务规则精准编码为数学约束，避免启发式调参，是金融风控、动态权重分配等场景的可靠基础工具。