矩阵乘法需手动检查维度并初始化中间变量，否则易越界或结果错误；推荐用Armadillo自动处理，稀疏矩阵应改用COO等专用格式。
矩阵乘法的维度检查必须手动做
C++ 原生不检查二维数组维度，operator* 也不支持，直接硬乘会越界或结果错乱。必须先验证左矩阵列数等于右矩阵行数，否则乘法无定义。
常见错误现象：segmentation fault、结果全为随机值、部分元素未被赋值。
- 用
std::vector<:vector>></:vector>时，检查a[0].size() == b.size() - 用 C 风格数组（如
double a[3][4]）时，维度是编译期常量，需靠注释或封装函数约束，不能靠编译器报错 - 若使用
std::array，可用模板参数推导维度，但依然要 runtime 检查（比如传入动态大小的子视图）
手写循环要注意索引顺序和初始化
三层嵌套循环顺序影响缓存性能，且中间结果变量必须初始化，否则累加会含垃圾值。
典型错误：漏写 sum = 0，或把 i/j/k 顺序写反导致内存访问不连续。
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- 推荐顺序：外层
i（结果行），中层j（结果列），内层k（求和维度） -
result[i][j]必须在k循环前设为0.0，不能依赖默认初始化（double数组局部变量不自动清零） - 若用
std::vector，构造时指定大小并初始化：std::vector<:vector>> result(m, std::vector<double>(p, 0.0))</double></:vector>
用 std::valarray 或 arma::mat 能避开手动索引但有代价
std::valarray 支持切片和广播，但矩阵乘法仍需手写循环；Armadillo 的 operator* 直接可用，但引入外部依赖且编译慢。
使用场景：原型开发快、数值计算密集、允许第三方库 —— 选 Armadillo；纯标准库、嵌入式环境、教学演示 —— 手写更可控。
-
Armadillo示例：arma::mat a(3,4); arma::mat b(4,2); arma::mat c = a * b;，自动检查维度并优化 BLAS 调用 -
std::valarray不提供二维语义，需 flatten 后用shift/cshift模拟，实际并不省事 - 所有第三方库都要求链接对应数学库（如 OpenBLAS），静态链接时容易漏配置
稀疏矩阵别用二维数组硬存
当矩阵含大量零（比如 95% 以上），用 std::vector<:vector>></:vector> 浪费内存且乘法变慢 —— 大部分乘加操作白做。
此时应换数据结构：std::map<:pair>, double></:pair> 或更高效的 std::vector<:tuple>></:tuple>（COO 格式），再按规则重写乘法逻辑。
- COO 格式下，乘法核心是“找公共下标”：对左矩阵每行非零元，遍历右矩阵对应列的非零元
- 没现成
operator*，必须自己实现，但时间复杂度从O(n³)降到接近非零元数量级 - 别试图用
std::vector<:vector>></:vector>存稀疏矩阵再“跳过零”，分支预测失败会让 CPU 流水线停顿更严重
实际写的时候，最容易被忽略的是：手写循环里 k 的范围不是固定的 0..n，而是取决于左右矩阵的实际维度；一旦维度变量名写错（比如把 cols_a 写成 rows_a），编译器完全不报错，运行时才崩。
