能一次性区分所有关系：计算球心平方距离dist_sq，再与(r1+r2)²和|r1−r2|²比较——dist_sq ≤ (r1+r2)²为碰撞/重叠/包含，dist_sq < |r1−r2|²为单向包含，dist_sq > (r1+r2)²为相离。
直接看球心距离平方和两个半径的代数关系，就能一次性区分碰撞、包含、重叠、相离、相交——不需要开方，也不依赖第三方库。
怎么用平方距离一次判断所有关系
所有关系都源于同一个值：dist_sq = dx*dx + dy*dy + dz*dz。算完它，再和两个关键阈值比较：
-
(r1 + r2) * (r1 + r2)：决定是否“接触或更近”（即是否碰撞/重叠/包含） -
std::abs(r1 - r2) * std::abs(r1 - r2)：决定是否“一个完全在另一个内部”（即是否包含）
注意：std::abs(r1 - r2)必须显式写，不能省略——否则当 r2 > r1 时，(r1 - r2)*(r1 - r2) 虽然数学上等价，但若 r1 和 r2 是 unsigned 类型，会溢出成极大正数，彻底误判。
为什么绝对不能用 std::sqrt
三个实际问题会立刻暴露：
立即学习“C++免费学习笔记（深入）”；
- 性能：每帧上千次调用
std::sqrt在移动设备或低端 CPU 上明显拖慢帧率 - 精度：比如两球刚好外切，
std::sqrt(dist_sq)可能返回9.999999而不是10.0，导致distance 判为 false - 语义错误：若
r1或r2是负值（非法但未校验），r1 + r2可能为负，而距离永远 ≥ 0，整个条件恒为 false
正确做法是全程用平方比较：dist_sq ，既快又稳。
浮点容差怎么加才不翻车
容差不是万能膏药，乱加反而引入新 bug：
- 不要写
dist_sq ——这会让本该分离的球也被判为“接触”，破坏物理逻辑 - 真正需要容错的是边界相等判断（如内切、外切），此时应统一用相对误差：
std::abs(dist_sq - target_sq) - 固定
eps = 1e-9f只适用于坐标/半径量级在 1 左右；若模型单位是千米级（如地理引擎），eps至少得设成1e-3f
多数业务场景（如游戏碰撞）其实不需要容差——只要输入数据干净（断言 r1 >= 0 && r2 >= 0）、坐标没严重抖动，直接比较就足够可靠。
非均匀缩放后还能用这个公式吗
不能。一旦球体经过非均匀缩放（比如 glTF 模型导出时 scale.x ≠ scale.y ≠ scale.z），它就不再是球体，而是椭球。此时：
- 把缩放后的包围盒中心当球心、最长轴当半径硬套公式，大概率漏判（小角度斜向接近时）或误判（沿短轴方向）
- 正确解法只有两种：① 用逆变换矩阵把椭球映射回单位球，再按原逻辑判断；② 换用支持椭球的库（如 Bullet 的
btConvexHullShape或自研椭球-球检测） - 常见陷阱：加载器自动计算 boundingSphere 但忽略原始 scale 属性，导致
Sphere.radius值失真——务必在加载后校验实际 AABB 尺寸与 radius 是否匹配
最易被忽略的一点：公式本身极简，但它的成立前提是“各向同性”。坐标系混乱、单位不一致、左手/右手系混用，比数学错误更常导致结果诡异。
