<p>三角形数定义为 $ T_n = \frac{n(n+1)}{2} $（$ n $ 为正整数），判断正整数 $ x $ 是否为其等价于验证方程 $ n^2 + n - 2x = 0 $ 是否有正整数解，即检查 $ \sqrt{1 + 8x} $ 是否为奇整数且其平方等于 $ 1 + 8x $。</p>
什么是三角形数的数学定义
三角形数是形如 $ T_n = \frac{n(n+1)}{2} $ 的正整数，其中 $ n $ 是正整数。比如 1、3、6、10、15 都是三角形数。
判断一个正整数 x 是否为三角形数，本质是解方程 $ n^2 + n - 2x = 0 $，看是否存在正整数解 n。求根公式给出：
n = (-1 + sqrt(1 + 8*x)) / 2
所以关键步骤是：算出 sqrt(1 + 8*x)，检查它是否为整数，且该整数减 1 后能否被 2 整除。
用 sqrt 判断时为什么容易出错
C++ 的 std::sqrt 返回 double，浮点精度在大整数（比如 > 1e13）附近会丢失，导致取整错误。例如：
- 对
x = 9999999999999，1 + 8*x是精确整数，但sqrt可能返回略小于真实值的数（如8944271.999999999），floor或强制转long long就会错判。
常见错误写法：
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long long root = sqrt(1 + 8LL * x); // 危险！没四舍五入，也没校验
正确做法应包含：
- 用
llround或手动加 0.5 后截断，避免向下取整偏差 - 必须验证
root * root == 1 + 8*x，不能只信sqrt结果 -
root必须是奇数（因为root = 2n + 1），否则(root - 1) / 2不是整数
C++ 实现：安全、可读、支持 long long
以下函数适用于 unsigned long long 范围内（约到 1e18）：
bool isTriangular(unsigned long long x) {
if (x == 0) return false;
unsigned long long t = 1 + 8ULL * x;
unsigned long long root = llround(sqrt((long double)t));
if (root * root != t) return false;
if ((root & 1) == 0) return false; // root 必须为奇数
return true;
}说明：
- 用
long double提升sqrt精度（比double更稳妥） -
llround（来自<cmath>）比static_cast<long long>(sqrt(...))更可靠 - 显式检查
root * root == t是必须步骤，绕过所有浮点不确定性 - 不依赖
root % 2 == 1，而用位运算(root & 1)，更快也更清晰
有没有不用浮点的纯整数解法
有，用二分查找解 n(n+1)/2 == x，时间复杂度 O(log x)，完全规避浮点误差：
bool isTriangularInt(unsigned long long x) {
if (x == 0) return false;
unsigned long long lo = 1, hi = static_cast<unsigned long long>(sqrt(2.0 * x)) + 2;
while (lo <= hi) {
unsigned long long mid = lo + (hi - lo) / 2;
unsigned long long val = mid * (mid + 1) / 2;
if (val == x) return true;
if (val < x) lo = mid + 1;
else hi = mid - 1;
}
return false;
}注意：
- 初始上界用
sqrt(2.0 * x) + 2是保守估计，确保覆盖真实n -
mid * (mid + 1) / 2在mid很大时可能溢出，若输入上限极高（> 1e18），需加溢出检测 - 对单次判断，浮点法更快；对大量判断或要求绝对确定性，整数二分更稳
实际项目里，只要输入在 1e15 以内，带校验的 sqrt 版本足够快又足够准；超过这个量级，优先考虑整数二分，或者先用 __builtin_clzll 粗筛范围再查。浮点校验那一步，少写就全白忙。
