三角形数是能排成等边三角形点阵的正整数，第n个为T(n)=n(n+1)/2；x是三角形数当且仅当1+8x为完全平方数且其平方根为奇数。
什么是三角形数？直接看判定公式
三角形数是能排成等边三角形点阵的正整数，比如 1、3、6、10、15……对应第 n 个三角形数为 T(n) = n*(n+1)/2。反过来看：给定一个正整数 x，它是否等于某个整数 n 对应的 T(n)？
代数上可推得：若 x = n<em>(n+1)/2</em>，则整理为二次方程 n² + n − 2x = 0，解得n = (−1 + sqrt(1 + 8x)) / 2。
所以 x 是三角形数 ⇔ 1 + 8*x 是完全平方数，且该平方根为奇数（保证分子为偶数，除以 2 后得整数 n）。
用 sqrt 判定时为什么不能直接比 ==
C++ 中 sqrt 返回 double，浮点计算有精度误差。例如对大整数 x = 1e12，1 + 8*x 是精确整数，但 sqrt 可能返回略小于真实整数值的浮点数（如 2828427.9999999995），强制转 long long 就会截断成 2828427，导致误判。
- 用
llround(sqrt(val))替代直接static_cast<long long>(sqrt(val))</long> - 计算
root = llround(sqrt(1 + 8.0 <em> x))</em>后，必须验证root root == 1 + 8 * x（用整数运算校验） - 不要依赖
sqrt的小数部分是否“接近 0”，只信整数平方校验
完整可移植的判定函数怎么写
以下函数适用于 unsigned long long 范围内（约 ≤ 1e19），不依赖 __int128 或第三方库：
bool isTriangular(unsigned long long x) {
if (x == 0) return false; // 题设要求正整数
unsigned long long val = 1 + 8 * x;
unsigned long long root = llround(sqrt((double)val));
// 防御性校验：root 可能因 double 精度溢出而错误，先限幅
if (root > 3037000500ULL) root = 3037000500ULL; // sqrt(UINT64_MAX) ≈ 4.29e9，这里取保守上界
if (root * root != val) return false;
return (root & 1) == 1; // root 必须是奇数，才能让 (-1 + root) / 2 为整数
}-
llround在<cmath>中，需链接-lm（Linux） - 对超大
x（如 > 1e15），(double)val可能无法精确表示整数 → 此时应改用整数开方（如牛顿法），但日常场景中double能精确表示到 2⁵³ ≈ 9e15，已覆盖多数需求 -
(root & 1) == 1比root % 2 == 1更快，也避免负数问题（此处 root ≥ 0）
容易被忽略的边界和性能点
-
x = 1 是合法三角形数（对应 n = 1），函数必须返回 true；漏掉这个会暴露逻辑漏洞
- 当
8<em>x</em> 溢出 unsigned long long 时，1 + 8x 会回绕——应在计算前加范围检查：if (x > ULLONG_MAX / 8) return false;
- 若需高频调用（如筛 1e6 个数），预计算三角形数集合（用
unordered_set）可能比每次开方更快，但空间换时间，得看场景
- 不要用
float，它只有 24 位有效精度，x > 2²⁰ ≈ 1e6 就可能出错
x = 1 是合法三角形数（对应 n = 1），函数必须返回 true；漏掉这个会暴露逻辑漏洞 8<em>x</em> 溢出 unsigned long long 时，1 + 8x 会回绕——应在计算前加范围检查：if (x > ULLONG_MAX / 8) return false; unordered_set）可能比每次开方更快，但空间换时间，得看场景 float，它只有 24 位有效精度，x > 2²⁰ ≈ 1e6 就可能出错 数学公式很干净，落地时每一步浮点转换、整数溢出、奇偶校验都得亲手掐住。
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