两圆位置关系由圆心距平方与半径和差平方比较判定：完全分离当dist_sq > (r1+r2)²，相交当(r1−r2)² < dist_sq < (r1+r2)²，内含或内切当dist_sq < (r1−r2)²，需用平方避免浮点误差。
如何用圆心距和半径判断两圆位置关系
直接比较圆心距离与两圆半径之和、之差的绝对值，是唯一可靠且高效的几何判定方式。浮点误差必须处理，否则 == 判定会失效。
- 设两圆圆心为
(x1, y1)、(x2, y2)，半径为r1、r2，先算平方距离避免开方：dx = x2 - x1; dy = y2 - y1; dist_sq = dx*dx + dy*dy; - 完全分离（无交点）：当
dist_sq > (r1 + r2) * (r1 + r2)时成立 - 交叉（两个交点）：当
dist_sq 且 <code>dist_sq > (r1 - r2) * (r1 - r2)时成立（注意用绝对值差的平方） - 包含（内含或内切）：当
dist_sq 时，小圆完全在大圆内；等于时为内切
为什么不能直接用 sqrt() 比较距离
开方引入额外浮点误差，且性能更低。所有比较都可基于平方距离完成，无需 sqrt() —— 这不是优化技巧，而是避免精度陷阱的必要做法。
-
sqrt(dist_sq)可能因舍入导致本该相等的值被判为不等，例如内切场景下dist == r1 - r2很难精确成立 - 用平方比较等价但更稳定：
dist_sq == (r1 - r2) * (r1 - r2)虽仍需容忍误差，但至少避免了两次浮点运算叠加 - 若必须容错，建议统一用
std::abs(dist_sq - target_sq) ，其中 <code>eps = 1e-9或根据坐标量级调整
边界情况：同心圆、零半径、负半径怎么处理
数学上半径为 0 是合法点圆，但实际代码中必须提前校验输入，否则后续计算会失真或崩溃。
- 若
r1 ，应拒绝或按点圆逻辑单独处理（如 <code>r1 == 0时，仅当dist_sq == 0才“重合”） - 同心圆（
dist_sq == 0）属于包含的一种特例：若r1 != r2，则小圆严格内含于大圆；若相等，则完全重合（非分离也非交叉） - C++ 中不要依赖
std::hypot或std::sqrt处理这些情形——它们不解决根本的语义歧义，反而掩盖输入问题
常见错误：把“相交”误判为“交叉包含”
“交叉包含”不是标准几何术语，用户实际想区分的是：分离 / 相切（外切或内切）/ 相交（两个交点）/ 包含（无交点，但一圆在另一圆内）。混淆会导致逻辑分支错误。
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- 外切：
dist_sq == (r1 + r2) * (r1 + r2) - 内切：
dist_sq == (r1 - r2) * (r1 - r2)（且r1 != r2） - 真正“交叉”仅指有两个交点的情形，必须同时满足
dist_sq 和 <code>dist_sq > (r1 - r2)*(r1 - r2) - 很多业务逻辑（如碰撞检测）只关心“是否相交（含相切）”，此时只需判断
dist_sq 即可，不必细分
实际写判定函数时，最容易被忽略的是半径合法性检查和浮点容差粒度——坐标范围越大，eps 就不能固定用 1e-9；而一旦漏掉 r <= 0 的 guard，后续所有距离比较都可能失去几何意义。
