史密斯数是合数，且其各位数字之和等于所有质因数（含重复）的各位数字之和；例如27=3×3×3，数字和均为9，故为史密斯数。
什么是史密斯数？先看判定逻辑
史密斯数不是质数，但它的各位数字之和等于它所有质因数（含重复）的各位数字之和。比如 27：
- 数字和是
2 + 7 = 9 - 质因数分解为
3 × 3 × 3，质因数数字和是3 + 3 + 3 = 9 - 它不是质数（
27可被3整除），所以27是史密斯数
关键点有三个：
- 必须是合数（即非质数且 > 1）
- 各位数字之和要等于其质因数（每个都拆开算各位）的数字和
- 质因数要按重数展开，比如
4 = 2 × 2，就得算两个2，不能只算一次
怎么写一个靠谱的 isSmith(int n) 函数
直接上核心逻辑，不绕弯：
- 先排除
n <= 1、质数、以及个位数（2~9都不是史密斯数，因为它们全是质数或1） - 写一个辅助函数
digitSum(int x)，返回 x 的各位数字和（对x % 10循环取余即可） - 写一个质因数分解循环：从
i = 2开始试除，每次把i的所有因子除尽，并把i加入质因数列表（或直接累加它的digitSum(i)） - 注意：如果最后剩下一个 > 1 的数（比如
n = 25除完5后剩5），它本身也是质因数，要计入
常见错误：
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- 忘记判断是否为质数，直接对质数算——结果会误判（如
13数字和是4，质因数只有13，数字和也是4，但它不是合数，不能算史密斯数） - 质因数分解时没处理剩余大质数（比如
97这种，试到sqrt(n)就停，漏掉它自己） - 把
digitSum写成只处理正数，但输入保证是正整数，这点倒不用额外检查
一个轻量、可验证的实现示例int digitSum(int x) {
int s = 0;
while (x) {
s += x % 10;
x /= 10;
}
return s;
}
<p>bool isPrime(int n) {
if (n < 2) return false;
if (n == 2) return true;
if (n % 2 == 0) return false;
for (int i = 3; i * i <= n; i += 2)
if (n % i == 0) return false;
return true;
}</p><p>bool isSmith(int n) {
if (n < 4 || isPrime(n)) return false; // 最小合数是 4，质数直接否
int sumDigits = digitSum(n);
int sumFactors = 0;
int temp = n;
for (int i = 2; i * i <= temp; ++i) {
while (temp % i == 0) {
sumFactors += digitSum(i);
temp /= i;
}
}
if (temp > 1) sumFactors += digitSum(temp); // 剩余大质数
return sumDigits == sumFactors;
}
注意几个边界：
-
isSmith(4)→digitSum(4)=4，质因数是2×2，digitSum(2)+digitSum(2)=4，返回true -
isSmith(1)、isSmith(2)、isSmith(3)都返回false -
isSmith(378)是经典例子（2×3×3×3×7，数字和3+7+8=18，质因数数字和2+3+3+3+7=18）
性能与可扩展性提醒
这个实现对 n ≤ 10⁶ 没问题，但若频繁调用或 n 达到 10⁹ 级别，要注意：
-
isPrime在isSmith里其实冗余了——我们已经在分解质因数，完全可以通过“是否只被自己整除过一次”来间接判断是否为质数，但为清晰起见，单独写更易 debug -
digitSum可以用查表法加速（最多 10 位，预存 0~9999 的数字和），但对单次判断意义不大 - 如果批量判断，建议预筛出质数表（如埃氏筛），再复用质因数分解逻辑，避免重复计算
最常被忽略的一点：史密斯数定义明确要求“合数”，而很多人只比数字和，忘了先过 isPrime 这关。哪怕数字和相等，只要 n 是质数，就不是史密斯数。
