本文研究了复合函数 $ y = \sqrt{x}\left(36x + \frac{80}{x}\right) $ 的定义域与值域，考察其单调性与凹凸性，运用导数工具判定函数的增减区间及凹凸区间，并依此勾勒出该函数的整体图像轮廓。

1、 函数有意义的前提条件

2、 由于含有 $ \sqrt{x} $，故要求 $ x \geq 0 $；又因表达式中存在 $ \frac{80}{x} $，分母不可为零，因此 $ x \neq 0 $。

3、 综合得函数的定义域为所有正实数，即 $ (0, +\infty) $。

4、 将原函数化简为 $ y = 36x^{3/2} + 80x^{-1/2} $，对其关于 $ x $ 求导，得到一阶导数：
$$ \frac{dy}{dx} = 54x^{1/2} - 40x^{-3/2} $$

5、 令一阶导数为零，解方程 $ 54x^{1/2} = 40x^{-3/2} $，整理得 $ x^2 = \frac{20}{27} $。

6、 结合定义域 $ x > 0 $，取正根得临界点：
$$ x = \frac{2\sqrt{15}}{9} \approx 0.86 $$

7、 在区间 $ \left(0,\ \frac{2\sqrt{15}}{9}\right) $ 内，$ \frac{dy}{dx} < 0 $，函数 $ y $ 单调下降。

8、 在区间 $ \left[\frac{2\sqrt{15}}{9},\ +\infty\right) $ 上，$ \frac{dy}{dx} > 0 $，函数 $ y $ 单调上升。

9、 观察化简后的函数形式 $ y = 36x^{3/2} + 80x^{-1/2} $，对任意 $ x > 0 $，两项均为正，故函数值恒为正。

10、 进一步分析二阶导数可知，当 $ x > 0 $ 时，$ \frac{d^2y}{dx^2} > 0 $，函数在整个定义域内呈凸性（注：此处“凸”按数学标准定义，即二阶导数为正对应图像开口向上，亦称“下凸”或“凸向原点”；部分文献中“凹”“凸”术语相反，本文依常规微积分习惯，$ y'' > 0 $ 对应凸函数）。

11、 函数在边界处的极限行为及关键点取值构成五点示意图。

12、 综合上述性质，该函数的大致图像如下所示。