完全数是等于其所有真因子（小于自身的正因数）之和的正整数，如6=1+2+3；不能只加到n/2，因为真因子可能成对出现，较大因子（如28的7）可超过n/2，需遍历至√n并配对查找。
什么是完全数，以及为什么不能只加到 n/2
完全数是指一个正整数等于它所有**真因子**（即小于它自身的正因数）之和。比如 6 的真因子是 1、2、3，加起来正好是 6，所以它是完全数。
很多人第一反应是遍历 1 到 n-1 或 n/2 来找因子，但要注意：n/2 虽然能覆盖大部分情况，却漏掉了 n 本身不是因子、但 sqrt(n) 附近可能成对出现因子的关键逻辑——比如 28 的因子有 4 和 7，而 7 > 28/2（即 14），但 4 。所以只扫到 <code>n/2 不仅低效，还容易写错边界。
高效判断：只遍历到 sqrt(n) 并成对收集因子
核心思路是利用因子成对出现的性质：若 i 是 n 的因子，且 i ，那么 <code>n/i 也是因子（且通常 > sqrt(n)）。这样可以把时间复杂度从 O(n) 降到 O(sqrt(n))。
实操注意点：
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- 从
i = 1开始循环，上限设为(int)sqrt(n)（别用i * i 防止溢出，尤其对大 <code>int） - 每次找到因子
i后，检查i != n/i：避免把完全平方数的平方根重复加两次（如36的因子6只算一次） - 跳过
i == n—— 真因子定义排除自身；也跳过i == 1？不，1必须计入（它是所有 >1 整数的真因子） - 累加时只加真因子：即
i（只要i != n）和n/i（只要n/i != n且n/i != i）
示例代码片段（关键逻辑）：
bool isPerfect(int n) {
if (n <= 1) return false;
int sum = 1; // 1 总是真因子（n > 1 时）
int limit = static_cast<int>(sqrt(n));
for (int i = 2; i <= limit; ++i) {
if (n % i == 0) {
sum += i;
if (i != n / i && n / i != n && n / i != i) {
sum += n / i;
}
}
}
return sum == n;
}常见错误现象和边界坑
实际写的时候，这几个地方最容易出错：
-
n == 1：没有真因子，和为 0 ≠ 1 → 应直接返回false -
n == 2：真因子只有1，和为 1 ≠ 2 →false，但有人误以为“偶数都行” - 忘记排除
n自身：比如在循环里加了n/i却没检查n/i == n（当i == 1时，n/i == n，必须跳过） -
sqrt(n)的类型截断：用int sqrt_n = sqrt(n)可能因浮点精度丢掉 1，建议用int limit = sqrt(n) + 1e-9;或更稳妥地用i * i （但注意 <code>i大时i*i溢出，此时应改用long long i或先转long long比较） - 没处理
i == 1单独提前提前加了1，结果循环又从2开始，逻辑才干净
C++ 中 int 范围与已知完全数的现实约束
目前已知的偶完全数都形如 2^(p−1) × (2^p − 1)，其中 2^p − 1 是梅森素数。前几个是 6、28、496、8128、33550336……注意 33550336 已超过 16777215（2^24−1），但仍在 int（通常 32 位，上限约 2.1e9）范围内；下一个完全数就远超 int 了。
所以如果你用 int 当参数，函数对 n > 33550336 的输入即使逻辑正确，也可能因溢出或效率问题无法实用。真要验证更大的数，得换 long long、配大数库，或直接查表——毕竟已知完全数极少，且全是偶数（奇完全数是否存在仍是未解数学问题）。
真正难的不是算法，而是意识到：这个函数本质上只对极小范围的输入有意义，其余都是理论练习。写的时候别在边界上死磕，优先保证 6、28、496、8128 四个经典值全过，再看是否值得拓展。
