<p>不能用 std::abs(distance - r)，因为 distance = sqrt(dxdx + dydy) 引入了额外浮点误差，且开方运算不可逆、精度损失不可控；直接比较 distance 与 r 还需再次计算 sqrt，违背“避免开方”的核心原则，增大误差累积风险。</p>
用浮点数比较距离平方是否等于半径平方
直接判断点到圆心距离是否等于半径，在浮点运算下几乎总会失败。因为 sqrt 引入精度误差，且 == 对浮点数极不可靠。正确做法是避开开方，比较距离的平方与半径的平方，再引入容差（epsilon）处理浮点误差。
- 设圆心为
(cx, cy)，半径为r，点为(x, y) - 计算
dx = x - cx，dy = y - cy，然后算dx * dx + dy * dy - 若该值与
r * r的差的绝对值小于1e-9（或根据坐标量级调整），认为点在边界上
为什么不能用 std::abs(distance - r)
因为 distance = std::sqrt(dx*dx + dy*dy) 本身就有两重误差：一是乘加过程的舍入，二是 sqrt 的近似实现。这两者叠加后，即使数学上严格相等，计算出的 distance 也可能偏差超过典型 eps（如 1e-9）。而距离平方只涉及基本算术，误差更小、更可控。
- 例如：当
dx=1.0,dy=1.0,r=sqrt(2)，r*r在内存中本就无法精确表示，但dx*dx + dy*dy是精确的2.0 - 用
sqrt反而把问题复杂化，还多一次函数调用开销
边界判定的容差怎么选
容差不是固定写 1e-9 就行，它得和输入坐标的数量级匹配。若坐标是千米级（1e6），那么 dx*dx 可达 1e12，此时相对误差可能达 1e-12 * 1e12 = 1.0，容差设成 1e-9 就完全失效。
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- 推荐用相对容差：比如
const double eps = 1e-9 * std::max({1.0, r*r, dx*dx, dy*dy}) - 更稳妥的做法是统一用
std::abs(sq_dist - r_sq) ::epsilon() * std::max(std::abs(sq_dist), std::abs(r_sq)) - 如果所有坐标都在 [-1000, 1000] 范围内，
1e-6通常足够；做图形拾取时甚至可放宽到1e-3（对应像素级容忍）
整数坐标场景可以完全避免浮点误差吗
可以，但仅限于判断「数学意义上是否恰好在边界上」——即是否满足 (x−cx)² + (y−cy)² == r²。前提是 cx、cy、x、y、r 全为整数，且平方结果不溢出 long long。
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- 用
long long dx = x - cx;等，再算dx * dx + dy * dy == r * r - 注意：
r是整数半径，不是浮点数；若原始半径是小数（如2.5），就不能走这条路 - 溢出风险高：坐标 ±10⁵ 时，平方达 10¹⁰，
int肯定爆，必须用long long或int128（视编译器支持）
实际中最容易被忽略的是容差尺度和坐标范围的耦合——拿图形界面里鼠标坐标（像素级整数）的逻辑，直接套用到地理坐标系（经纬度带小数、值域大）上，会批量误判。
