位运算判断重复的核心是用整数每位作布尔开关：小范围（如26字母）用单int位图，通过mask&(1<<i)检测、mask|=(1<<i)置位；大范围需分组（如long数组）；唯一重复数可用逐位统计差或异或抵消法。

位运算判断“数值变量是否存在重复的二进制位模式”，关键不在于比较两个数是否相等，而在于识别：**同一组数值中，是否有某个二进制位被多次“点亮”（即多个数在该位上均为 1）**。这常见于两类实战场景：一是检测某类取值范围内是否存在重复元素（如小写字母、0~63 的整数），二是从一组数中反推唯一重复出现的数（如 1~n 中某数多出现一次）。核心思想是用整数的每一位充当一个布尔开关，实现紧凑、高效、无额外容器的标记与校验。

用单个整数做“26字母位图”

适用于字符集固定、范围小（≤32 或 ≤64）的情形，比如判断字符串中哪些小写字母重复出现过，或是否所有字母都不重复。

• 初始化一个 int 变量 mask = 0，它天然表示 32 个“未出现”状态
• 对每个字符 c，计算偏移量 i = c - 'a'（0~25），构造标志位 1 << i
• 检查该位是否已为 1：if ((mask & (1 << i)) != 0) → 已存在，即发现重复
• 否则置位：mask |= (1 << i)

例如字符串 "abca"：处理 a→mask=0001，b→mask=0011，c→mask=0111，再遇 a 时 mask & 0001 ≠ 0，立刻返回 true。

分组处理大范围整数（如 0~1000）

当数值可能超过 32 或 64（如含负数、大于 63 的正数），单个整数无法覆盖全部位置，需按位宽分组使用长整型数组。

• 确定每组容量，如用 long（64 位），则每组覆盖 64 个连续整数
• 对每个数 x，计算组号 group = (x - minVal) / 64，组内偏移 bitIdx = (x - minVal) % 64
• 维护 long[] bits = new long[groupCount]，检查 (bits[group] & (1L << bitIdx)) != 0
• 若为真则重复；否则执行 bits[group] |= (1L << bitIdx)

例如数组 [-10, 3, 30, 65]，minVal = -10 → 映射为 [0,13,40,75]，前三个落入 group 0，65 落入 group 1；第二次遇到 3 时，对应位已在 group 0 中置 1，即可捕获重复。

逐位统计法还原唯一重复数（如 1~n 中多一个）

当已知数组长度为 n+1、含 1~n 各一次 + 一个重复数 x，且不能用哈希表或排序，可用“按位计数差”定位 x。

• 遍历 0 到 31 位（覆盖 int 范围），对每位 i 统计两组 1 的个数：
    cntArr = nums 中第 i 位为 1 的元素个数
    cntNum = [1, n] 中第 i 位为 1 的元素个数
• 若 cntArr > cntNum，说明重复数 x 的第 i 位必为 1
• 将所有满足条件的位组合起来：result |= (1 << i)

原理：除 x 外，其余数在 [1,n] 和 nums 中出现次数相同，其各位贡献抵消；只有 x 多出一次，使对应位总 1 数超标。时间 O(32×n)，空间 O(1)。

异或抵消法快速定位偶数次异常

适用于“其他数都出现偶数次，仅一个数出现奇数次（含两次）”的变体，但注意：纯异或无法直接判重，需配合前提约束。

• 若数组为 [1,2,…,n,x]，共 n+1 个数，且 x ∈ [1,n]，则：
    x = (1^2^…^n) ^ (nums[0]^nums[1]^…^nums[n])
• 因为 a^a = 0，a^0 = a，所以所有非重复数成对抵消，只剩 x
• 此法要求其余数恰好出现一次，x 出现两次；若 x 出现三次，则结果为 x 本身（因 x^x^x = x），仍可识别，但不区分“两次”还是“奇数次”