位运算求余仅适用于除数为2的整数次幂的场景，此时可用a&(b−1)替代a%b，原理是提取二进制数低n位，高效且符合余数定义。

位运算求余不是通用替代方案，而是针对特定场景的高效技巧：仅当除数是 2 的整数次幂（如 2、4、8、16、32…）时，才能用位运算安全、准确地代替 %。它本质是利用二进制结构直接提取余数位，跳过除法过程，因此速度快、指令少，特别适合嵌入式、高频循环或性能敏感代码。

为什么只能用于 2 的幂次方？

因为计算机中整数以二进制存储，而除以 2ⁿ 等价于逻辑右移 n 位——高位部分构成商，被移出的低 n 位恰好就是余数。例如：

• 13 的二进制是 1101，除以 8（即 2³），右移 3 位得商 1（1），移出的低 3 位 101 就是余数 5；
• 要“抓取”这低 3 位，只需和 111（即 2³ − 1 = 7）做按位与：1101 & 0111 = 0101 → 5。

两种等效写法及适用场景

设待求余数为 x % y，且 y == 2ⁿ，则可任选其一：

• x & (y - 1) —— 最常用，简洁直观。如 97 & 7 求除以 8 的余数（7 是 0b111）；
• x - ((x >> n) —— 先右移得商，再左移还原高位部分，用原值减去即得余数。适合需要同时获取商与余数的场合，且对负数行为更可控（取决于右移类型）。

实战注意事项

直接套公式容易踩坑，关键细节必须明确：

• 只适用于非负数或已知补码行为的环境：C/C++ 中对负数右移是实现定义的（通常算术右移），x & (y-1) 在负数下可能返回非预期结果（如 -1 & 7 = 7，但数学余数应为 7？实际需看语言规范）。Java 中 >>> 是无符号右移，配合 & 更稳妥；
• 确保 y 确实是 2 的幂：可用 (y & (y-1)) == 0 && y != 0 快速判断（前提是 y > 0）；
• 编译器常自动优化 % 2ⁿ：现代编译器（GCC/Clang/MSVC）在开启优化后，会将 x % 8 自动转为 x & 7，手写位运算未必提升性能，但能显式表达意图、避免魔数。

从余数反推二进制理解

每次用 & (2ⁿ−1)，你其实是在做一件很底层的事：屏蔽高位，只保留最低 n 位。这正是余数的定义——无法被 2ⁿ 整除的部分，必然落在低 n 位上。多试几个数：

• 0 & 3 → 0（0b00）
• 1 & 3 → 1（0b01）
• 2 & 3 → 2（0b10）
• 3 & 3 → 3（0b11）
• 4 & 3 → 0（0b100 → 取低两位 00）

你会发现结果严格循环于 0 到 3，这就是模 4 的完整余数空间。掌握这点，你就真正读懂了“余数即低位截断”这一二进制本质。