Java中矩阵最小路径和问题用动态规划求解：dpi表示从(0,0)到(i,j)的最小路径和，状态转移方程为dpi = gridi + min(dpi−1, dpi)，需单独处理首行、首列边界，结果为dpm−1。

在 Java 中用数组实现矩阵的最小路径和问题，核心是用二维数组（或压缩为一维）存储到达每个位置的最小累计和，状态转移方程直接体现“只能从上方或左方来”的约束。

状态定义与转移方程

设 dp[i][j] 表示从矩阵左上角 (0,0) 到达位置 (i,j) 的最小路径和。给定非负整数矩阵 grid，则状态转移方程为：

dp[i][j] = grid[i][j] + min(dp[i−1][j], dp[i][j−1])

边界处理：第一行只能从左来，第一列只能从上来；起点 dp[0][0] = grid[0][0]。

Java Maven Common

Java Maven 项目审查工作流的通用输入处理。当 Java Maven 项目以 ZIP压缩包或 GitLab 仓库 URL 形式提供且需要...时使用。

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二维数组实现（直观易懂）

适合理解逻辑，空间复杂度 O(m×n)：

• 初始化 dp 为与 grid 同尺寸的二维数组
• 手动设置首行：dp[0][j] = dp[0][j−1] + grid[0][j]
• 手动设置首列：dp[i][0] = dp[i−1][0] + grid[i][0]
• 双层 for 循环（i 从 1 开始，j 从 1 开始），按方程递推填表
• 结果即为 dp[m−1][n−1]

一维数组优化（节省空间）

因每行只依赖上一行和左侧值，可用长度为 n 的一维数组 dp[] 滚动更新：

• 初始化 dp[0] = grid[0][0]，再填满首行：dp[j] = dp[j−1] + grid[0][j]
• 对第 i 行（i ≥ 1）：先更新 dp[0] += grid[i][0]（来自上方）
• 再从 j = 1 到 n−1：dp[j] = grid[i][j] + min(dp[j], dp[j−1])
  （此时 dp[j] 还是上一行的值，代表“上方”；dp[j−1] 是当前行已更新的左边值，代表“左方”）

关键细节提醒

注意数组索引越界检查，尤其在边界初始化时；原地修改 grid 不推荐，会破坏输入数据；若题目允许，可复用 grid 数组做 dp（节省空间但不纯函数式）；所有数值应为 int 或 long，避免路径和溢出。