加减乘除需用位运算实现，因编译器将高级运算编译为依赖位操作的指令；add函数通过异或得无进位和、与运算加左移得进位，循环直至进位为0。
为什么不能直接用 + - * / 却还要算加减乘除？
因为这是面试高频题，也是理解底层运算本质的硬核入口。编译器把 + 编译成加法指令，但指令本身依赖位运算实现；你手写位运算是为了绕过高级语法，直抵 ALU 的工作方式。关键不是“能不能”，而是“怎么让进位、借位、移位协同起来不出错”。
add 函数：用异或和与实现无进位加法 + 进位传播
两数相加 = 无进位和 + 进位值。异或 ^ 天然给出不考虑进位的每一位结果；与 & 再左移 得到进位位置。循环直到进位为 0：
int add(int a, int b) {
while (b != 0) {
int carry = (unsigned int)(a & b) << 1; // 必须转 unsigned 防止负数左移未定义行为
a = a ^ b;
b = carry;
}
return a;
}
- 负数参与时，
a & b可能产生符号位，左移引发未定义行为 → 强制转unsigned int是必须的 - 不能用递归代替 while（容易栈溢出），尤其当
b是大负数时，进位传播步数可能达 32 次 - 该逻辑对补码完全兼容，无需额外处理符号位
sub 和 neg：先实现取反再复用 add
减法即加相反数，而相反数 = 按位取反 + 1。注意：对 INT_MIN 取反再加 1 仍是它自己（补码特性），所以 sub(INT_MIN, x) 要小心溢出，但题目通常不校验溢出。
int neg(int x) {
return add(~x, 1); // ~x 是按位取反，再用自建 add 加 1
}
int sub(int a, int b) {
return add(a, neg(b));
}
-
~x是标准位运算，安全；但neg(INT_MIN)返回INT_MIN，不是错误，是补码定义决定的 - 别试图用
add(a, ~b, 1)三参数写法——C++ 不支持，必须拆成两步 - 所有减法最终都落到
add上，所以add的鲁棒性直接决定整个体系是否可靠
mul：模拟竖式乘法，用移位+条件累加
把乘数看作二进制，某位为 1 就把被乘数左移对应位数后加到结果里。核心是判断最低位、右移乘数、左移被乘数、累加四步循环：
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int mul(int a, int b) {
int res = 0;
bool negative = (a < 0) ^ (b < 0); // 异或判断结果符号
long long la = labs((long long)a);
long long lb = labs((long long)b); // 用 long long 防中间过程溢出（如 INT_MIN * -1）
while (lb != 0) {
if (lb & 1) res = add(res, (int)la);
la <<= 1;
lb >>= 1;
}
return negative ? neg(res) : res;
}
- 必须用
long long承接labs结果，否则INT_MIN无法正确转正（abs(INT_MIN)在 int 范围内溢出） - 判断符号用
(a ，比乘法更安全，且不引入 <code>* - 每次
la 前要确认不会在 int 内溢出？不用管——我们用的是 <code>long long la，只在最后强转回int一次
除法比乘法更麻烦，涉及试商和多次比较，实际工程中几乎没人手写；但若真要实现，核心是「用减法代替除法」+「快速逼近」（比如倍增被除数）。不过真正容易翻车的，从来不是算法逻辑，而是边界：INT_MIN / -1 溢出、除零、符号处理错一位就全错。这些细节藏在类型转换和循环终止条件里，而不是公式本身。
