复合函数g∘f的单射性充要条件是f单射且g在f(A)上单射，满射性充要条件是g在f(A)上满射；f、g均单射或均满射分别是g∘f单射或满射的充分非必要条件。

若一个复合函数由两个函数依次作用构成，则其单射性与满射性取决于各组成部分的性质。以下是验证复合函数单射与满射性质的若干路径：

一、复合函数为单射的充要条件分析

设函数 f: A → B，g: B → C，复合函数 g∘f: A → C。g∘f 是单射，当且仅当 f 是单射，且 g 在 f(A) 上限制为单射。该条件不强制要求 g 在整个定义域 B 上单射，仅需在像集 f(A) 内保持一对一映射。

1、假设 a₁, a₂ ∈ A 且 a₁ ≠ a₂，验证 g(f(a₁)) ≠ g(f(a₂)) 是否成立。

2、若 f(a₁) = f(a₂)，则由 f 单射性可推出 a₁ = a₂，矛盾；故必有 f(a₁) ≠ f(a₂)。

3、再利用 g 在 f(A) 上的单射性，由 f(a₁) ≠ f(a₂) 推出 g(f(a₁)) ≠ g(f(a₂))。

二、复合函数为满射的充要条件分析

g∘f: A → C 是满射，当且仅当 g 是满射，且 f 的值域 f(A) 覆盖 g 的定义域中所有被 g 映射到 C 的必要输入——即对任意 c ∈ C，存在 b ∈ f(A) ⊆ B 使得 g(b) = c。换言之，f(A) 必须包含 g 的某个左逆作用所需的预像集。

1、任取 c ∈ C，因 g∘f 满射，存在 a ∈ A 使得 g(f(a)) = c。

2、令 b = f(a)，则 b ∈ f(A) ⊆ B，且 g(b) = c，说明 g 在子集 f(A) 上已实现对 C 的全覆盖。

3、由此可知 g 本身在 B 上未必满射，但其限制 g|_f(A) 必为满射；同时，若 g 整体满射，仍需 f(A) 足够“大”以提供全部所需原像。

三、f 与 g 均单射 ⇒ g∘f 单射（充分非必要）

该路径提供一种构造性验证方式：当两个组成函数各自满足单射定义时，可直接推得复合结果亦为单射，无需额外限制定义域或像集范围。

1、设 a₁, a₂ ∈ A，a₁ ≠ a₂。

2、由 f 单射得 f(a₁) ≠ f(a₂)。

3、由 g 单射得 g(f(a₁)) ≠ g(f(a₂))。

4、因此 g∘f 满足单射定义：a₁ ≠ a₂ ⇒ g∘f(a₁) ≠ g∘f(a₂)。

四、f 与 g 均满射 ⇒ g∘f 满射（充分非必要）

若 f 和 g 各自覆盖其对应陪域，则复合过程不会丢失任何目标元素，从而确保最终映射达及整个 C。

1、任取 c ∈ C，因 g 满射，存在 b ∈ B 使得 g(b) = c。

2、因 f 满射，存在 a ∈ A 使得 f(a) = b。

3、于是 g(f(a)) = g(b) = c。

4、故对任意 c ∈ C，均存在 a ∈ A 满足 g∘f(a) = c，即g∘f 是满射。

五、单射性与满射性的独立性示例

存在复合函数 g∘f 为单射但非满射，也存在为满射但非单射的情形，表明二者无蕴含关系。关键在于 f 与 g 的像集、定义域匹配程度及映射结构。

1、取 f: ℕ → ℕ, f(n) = 2n（单射非满射），g: ℕ → ℕ, g(m) = ⌊m/2⌋（满射非单射）。

2、则 g∘f(n) = ⌊2n/2⌋ = n，即 g∘f = id_ℕ，既是单射又是满射。

3、改取 f: {1,2} → {1,2,3}, f(1)=1, f(2)=2；g: {1,2,3} → {1,2}, g(1)=1, g(2)=2, g(3)=2。

4、则 g∘f(1)=1, g∘f(2)=2，是单射且满射；但 g 本身非单射，f 非满射。