r² 分数并非恒为正值，当模型拟合效果比简单均值预测更差时，其值可为负数；本文详解 sklearn 中 `r2_score` 的计算逻辑、负值成因，并提供规范的非线性拟合与评估实践指南。
在使用 sklearn.metrics.r2_score 评估非线性回归模型（如您对 kc_house_data 构建的指数型函数 y = β₁·β₂ᵃ + β₃）时，出现负值（如 -59.51）并不表示代码错误，而是模型性能的客观反映。R² 的数学定义为：
[ R^2 = 1 - \frac{\sum_i (y_i - \hat{y}_i)^2}{\sum_i (y_i - \bar{y})^2} ]
其中分子是残差平方和（RSS），分母是总平方和（TSS），以目标变量均值 (\bar{y}) 为基准。关键在于：当 RSS > TSS 时，R² < 0——这意味着您的模型预测结果，整体上比直接用 y_data_norm 的均值进行“常数预测”还要糟糕。
在您的代码中，问题主要出现在以下环节：
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- 训练与预测范围不一致：您用 curve_fit 在归一化后的 x_data_norm 上拟合参数，但绘图时却用 x = np.linspace(4, 12, 21613) / max(x) 生成全新横坐标——该区间（4–12）远超 x_data_norm 实际范围（[0, 1]），导致外推严重失真，y 预测值剧烈偏离真实分布；
- 评估对象错位：r2_score(y_data_norm, y) 中 y 是在错误 x 网格上计算的预测值（长度 21613），而 y_data_norm 长度为原始样本数（如 21613 可能巧合匹配，但逻辑错误），且未对应真实输入点；
- 未使用拟合后的最优参数进行 内插预测：应基于原始 x_data_norm 计算拟合值 y_pred = log(x_data_norm, *popt)，再与 y_data_norm 对齐评估。
✅ 正确做法如下：
# 正确：在原始归一化输入上生成预测值
y_pred_norm = log(x_data_norm, *popt) # 注意：x_data_norm 是训练输入
# 确保维度一致、一一对应
assert len(y_pred_norm) == len(y_data_norm)
# 计算 R² —— 此时若仍为负，说明模型结构或初始化严重不适配数据
r2 = r2_score(y_data_norm, y_pred_norm)
print(f"R²-score (on training points): {r2:.4f}")⚠️ 补充注意事项：
- R² < 0 提示模型存在根本性问题：函数形式不合理（如 log() 定义中 np.power(Beta_2, a) 对 a ∈ [0,1] 增长过缓）、初始参数偏差大、数据噪声高或特征工程失效（combined 特征可能淹没关键信号）；
- 对非线性回归，建议优先使用交叉验证下的 mean_squared_error 或 mean_absolute_error 辅助诊断；
- 若追求解释性 R²，可考虑对数变换后线性化（如 log(price) ~ combined），再用线性 R² 评估；
- 永远避免在未经对齐的 x 网格上评估指标——它衡量的是“绘图美观度”，而非模型泛化能力。
总结：R² 为负不是 bug，而是 red flag。它敦促我们回归建模本质——检查函数假设是否合理、数据预处理是否引入偏差、以及优化过程是否收敛到有意义解。在非线性场景中，可视化残差、检验 Jacobian 条件数、尝试不同初值或换用鲁棒优化器（如 method='trf'），往往比执着于 R² 数值更有价值。
