本文详解如何正确求解变量数多于方程数的线性系统（如2方程3未知数），指出`np.linalg.inv()`不适用的原因，演示参数化通解推导，并提供基于numpy的稳健实现方案。
当方程个数少于未知数个数（如本例中 2 个方程、3 个未知数）时，该线性系统是欠定的（underdetermined），不存在唯一解，而是一族无穷多解——其解集构成一个一维仿射子空间（即一条直线）。此时，无法直接使用 np.linalg.inv() 或 np.linalg.solve() 求“唯一解”，因为系数矩阵 $ M_1 \in \mathbb{R}^{2\times3} $ 不是方阵，不可逆，且 np.linalg.solve() 要求系数矩阵为方阵且满秩。
你原代码中的错误在于：
np.linalg.inv(M1).dot(v1) # ❌ 报错：inv() 仅支持方阵
M1 是 $2\times3$ 矩阵，np.linalg.inv() 会直接抛出 LinAlgError。
✅ 正确思路是：将一个变量设为自由参数（如令 $z = t$），代入消元，得到用 $t$ 表示的 $x, y$ 表达式（通解）。
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对原方程组： $$ \begin{cases} 10x + 5y + 0.5z = 100 \ x + y + z = 100 \end{cases} $$
令 $z = t$（$t \in \mathbb{R}$），代入得： $$ \begin{cases} 10x + 5y = 100 - 0.5t \ x + y = 100 - t \end{cases} $$
解此二元方程组（可用 NumPy 的 linalg.solve，因系数矩阵 now 是 $2\times2$）：
import numpy as np
def solve_underdetermined_system():
# 自由参数 t 的取值范围（例如整数解约束可限定 t）
t_values = np.linspace(0, 100, 101) # 示例：t ∈ [0, 100] 步长1
solutions = []
for t in t_values:
# 构造约化后的 2×2 系数矩阵和右侧向量
A_reduced = np.array([[10., 5.],
[1., 1.]])
b_reduced = np.array([100. - 0.5*t,
100. - t])
try:
xy = np.linalg.solve(A_reduced, b_reduced) # ✅ 可行：A_reduced 是方阵
x, y = xy[0], xy[1]
solutions.append((x, y, t))
except np.linalg.LinAlgError:
continue # 数值奇异时跳过
return np.array(solutions)
# 获取前5组解示例
sol_arr = solve_underdetermined_system()
print("前5组解 (x, y, z):")
for i in range(min(5, len(sol_arr))):
print(f"解 {i+1}: x ≈ {sol_arr[i,0]:.2f}, y ≈ {sol_arr[i,1]:.2f}, z = {sol_arr[i,2]:.0f}")? 关键注意事项：
- 若问题隐含整数解约束（如经典的“百鸡问题”变体），需进一步筛选 $t$ 使 $x,y,z$ 均为非负整数；
- np.linalg.lstsq() 可用于求最小二乘意义下的“最优”特解（如范数最小解），但不改变解集结构；
- 符号计算推荐 sympy：sp.solve([10*x+5*y+0.5*z-100, x+y+z-100], [x,y]) 直接返回含 $z$ 的参数化解。
总结：面对欠定系统，放弃寻找“唯一解”的执念，转而构建参数化通解；NumPy 是强大工具，但必须匹配数学本质——用对函数、选对维度，才是正确实践之道。
