后缀自动机SAM是高效处理字符串子串问题的数据结构，能在O(n)时间内构建，支持查询子串出现次数、最长公共子串和不同子串个数；其核心由状态节点、转移边、后缀链接组成，通过扩展字符并维护len与link实现，关键步骤包括新建状态、沿后缀链接跳转、判断是否分裂状态以保证最小性；C++实现使用vector存储状态，map处理转移，常见应用有DP统计不同子串总数、反向传播计算出现频率、在SAM上匹配求两串最长公共子串等。
后缀自动机（Suffix Automaton, SAM）是一种高效处理字符串子串问题的数据结构。它能在 O(n) 时间内构建，并支持快速查询所有子串的出现次数、最长公共子串、不同子串个数等问题。C++ 实现 SAM 的核心是理解其状态转移机制和后缀链接（suffix link）。
什么是后缀自动机
SAM 是一个最小化确定性有限自动机，能识别字符串的所有后缀对应的子串。每个状态代表一组具有相同“右端行为”的子串集合。关键组成部分包括：
- 状态节点：包含 len（该状态表示的最长子串长度）、link（后缀链接指向更短的等价类）
- 转移边 trans[c]：字符 c 的转移函数
- last：当前添加字符后的最新状态
构建后缀自动机的步骤
每次向字符串末尾添加一个字符时，扩展自动机结构。主要逻辑如下：
- 新建状态 cur，设置其 len 为 last->len + 1
- 从 last 开始沿后缀链接向上跳，若没有 c 转移，则指向 cur
- 遇到已有 c 转移的节点 p，设 q = p->trans[c]
- 根据 len[q] 是否等于 len[p]+1 分裂状态或直接连接后缀链接
注意：分裂状态是为了保证 SAM 的最小性和正确性。
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C++ 实现代码
以下是简洁可运行的 SAM 实现：
```cpp #includestruct State { int len, link; map<char, int> trans; long long cnt; // 表示到达该状态的路径数（可用于统计子串数量） State() : len(0), link(-1), cnt(0) {} };
vector
void sam_init() { st.clear(); st.push_back(State()); last = 0; }
void sam_extend(char c) { int cur = st.size(); st.push_back(State()); st[cur].len = st[last].len + 1; int p = last;
while (p != -1 && !st[p].trans.count(c)) {
st[p].trans[c] = cur;
p = st[p].link;
}
if (p == -1) {
st[cur].link = 0;
} else {
int q = st[p].trans[c];
if (st[p].len + 1 == st[q].len) {
st[cur].link = q;
} else {
int clone = st.size();
st.push_back(st[q]); // 复制 q 状态
st[clone].len = st[p].len + 1;
while (p != -1 && st[p].trans[c] == q) {
st[p].trans[c] = clone;
p = st[p].link;
}
st[q].link = clone;
st[cur].link = clone;
}
}
last = cur;}
<H3>常见应用与操作</H3>
<p>SAM 构建完成后可以解决多种问题：</p>
<ul>
<li><strong>不同子串个数</strong>：从初始状态出发，每条路径对应唯一子串。可用 DP 计算：f[u] = 1 + Σ f[v]（v 是 u 的转移目标）</li>
<li><strong>每个子串出现次数</strong>：对每个状态标记是否为终止状态（出现在原串结尾），然后沿后缀链接反向传播计数</li>
<li><strong>最长公共子串（两个串）</strong>：在 SAM 上匹配第二个串，维护当前匹配长度和状态，不断通过后缀链接调整</li>
</ul>
<p>例如统计不同子串总数：</p>
```cpp
long long count_distinct_substrings() {
long long total = 0;
for (int i = 1; i < st.size(); i++) {
total += st[i].len - st[st[i].link].len;
}
return total;
}基本上就这些。掌握 SAM 关键在于理解状态含义和分裂条件。实现时注意 map 可换成数组（仅限小字符集），提升性能。
