极坐标下二重积分∫∫ydσ=0的原因是什么？

极坐标下二重积分∬ydσ=0的巧妙证明及常见错误分析

本文分析一道关于极坐标下二重积分的题目，并解释为什么积分结果为零，以及计算过程中常见的错误。题目中，积分区域为极坐标方程r = ½ (⅓)sinθ描述的心形区域，被积函数为f(x,y) = y。

利用对称性快速求解：

关键在于观察被积函数和积分区域的对称性。被积函数y是关于y轴的奇函数，即f(x,-y) = -f(x,y)。同时，心形区域关于x轴对称。这意味着对于区域内任意一点(x,y)，点(x,-y)也在区域内。因此，在x轴上下两部分区域上的积分值大小相等，符号相反，最终结果相互抵消，二重积分结果为零：

∬_σ y dσ = 0

更严格的数学表达：

∬σ f(x,y)dxdy = ∫dx ∫y0-y0 f(x,y)dy = 0 (因为∫y0-y0 f(x,y)dy = 0)

常见错误及正确解法：

许多同学尝试使用极坐标变换直接计算，但容易出现错误。正确的极坐标积分步骤如下：

∬_σ y dσ = ∫₀^2π ∫₀^{½ (⅓)sinθ} (r sinθ) * r dr dθ = ∫₀^2π ∫₀^{½ (⅓)sinθ} r² sinθ dr dθ

错误通常发生在对r的积分之后，对θ的积分计算上。 一些同学会错误地计算∫₀^2π (½ (⅓)sinθ) dθ，忽略了对常数项½的积分，或者错误地认为∫₀^2π sinθ dθ不等于零。

正确计算步骤：

1. 内层积分 (对r积分):

∫₀^{½ (⅓)sinθ} r² sinθ dr = [⅓r³ sinθ]₀^{½ (⅓)sinθ} = ⅓(½ (⅓)sinθ)³ sinθ

2. 外层积分 (对θ积分):

∫₀^2π ⅓(½ (⅓)sinθ)³ sinθ dθ

这个积分虽然看起来复杂，但由于sinθ在[0, 2π]上的积分结果为0，且(½ (⅓)sinθ)³是一个关于sinθ的奇函数，因此最终结果仍然为0。

总结：利用对称性可以快速判断该二重积分的结果为零，避免复杂的计算。 如果必须通过极坐标积分计算，则需仔细计算内外层积分，避免常见的计算错误。 记住，对称性分析是解决积分问题的一个强大工具。

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