如何有效计算 2D 和 3D 空间中两个向量之间的顺时针角度？

高效计算向量之间的顺时针角度

传统上，需要利用点积计算两个向量之间的角度，点积决定了向量之间的内角范围为 0 至 180 度。然而，这种方法在确定角度与其补角之间的适当结果时存在挑战。

是否有更直接的方法来计算顺时针角度？

2D 案例

与点积与角度余弦的关系类似，行列式与其正弦成正比。通过结合这种关系，我们可以计算角度如下：

dot = x1 * x2 + y1 * y2  # Dot product between [x1, y1] and [x2, y2]
det = x1 * y2 - y1 * x2  # Determinant
angle = atan2(det, dot)  # atan2(y, x) or atan2(sin, cos)

计算出的角度的方向与坐标系的方向一致。在左手坐标系中，x 指向右侧，y 指向下方，顺时针角度将产生正值。相反，在 y 指向上方的数学坐标系中，结果反映逆时针角度，这是数学中的惯例。交换输入向量的顺序会改变符号，从而可以灵活地修改结果的符号。

3D Case

在三维空间中，任意向量定义自己的轴旋转垂直于两者。由于该轴没有固定方向，因此无法唯一确定旋转角度的方向。常见的约定是指定正角度并对齐轴以适应此约定。在这种情况下，归一化向量的点积足以进行角度计算：

dot = x1 * x2 + y1 * y2 + z1 * z2  # Between [x1, y1, z1] and [x2, y2, z2]
lenSq1 = x1 * x1 + y1 * y1 + z1 * z1
lenSq2 = x2 * x2 + y2 * y2 + z2 * z2
angle = acos(dot / sqrt(lenSq1 * lenSq2))

嵌入 3D 的平面

对于约束在具有已知法线的平面内的向量向量 n，需要考虑特定情况。旋转轴与n 重合，n 的方向固定轴的方向。在这种情况下，我们可以修改上面的 2D 计算，将 n 包含在行列式中，将其转换为 3x3 矩阵：

dot = x1 * x2 + y1 * y2 + z1 * z2
det = x1 * y2 * zn + x2 * yn * z1 + xn * y1 * z2 - z1 * y2 * xn - z2 * yn * x1 - zn * y1 * x2
angle = atan2(det, dot)

为了使此计算有效，法向量 n 必须标准化为单位长度。

或者，行列式可以表示为三元组产品：

det = n · (v1 × v2)

这种方法在某些 API 中可能更容易实现，并提供对底层机制的深入了解：叉积与角度的正弦值成正比，并且垂直于平面，这意味着它是一个倍数的 n.因此，点积本质上是测量应用了正确符号的向量的长度。

范围 0 – 360°

大多数 atan2 实现返回该范围内的角度[-π, π]（以弧度为单位）或 [-180°, 180°]（以度为单位）。要获得 [0, 2π] 或 [0°, 360°] 范围内的正角度，可以应用以下变换：

dot = x1 * x2 + y1 * y2  # Dot product between [x1, y1] and [x2, y2]
det = x1 * y2 - y1 * x2  # Determinant
angle = atan2(det, dot)  # atan2(y, x) or atan2(sin, cos)

或者，以下表达式避免区分大小写：

dot = x1 * x2 + y1 * y2 + z1 * z2  # Between [x1, y1, z1] and [x2, y2, z2]
lenSq1 = x1 * x1 + y1 * y1 + z1 * z1
lenSq2 = x2 * x2 + y2 * y2 + z2 * z2
angle = acos(dot / sqrt(lenSq1 * lenSq2))

此校正技术不限于此特定问题，而是可以应用于涉及 atan2 的任何场景。

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