时间复杂度和空间复杂度

一般来说，时间复杂度和空间复杂度是衡量算法效率的方法，基于算法的资源使用量随算法的变化而变化。其输入的大小。让我们回顾一下基础知识和一些常见示例。

时间复杂度

时间复杂度描述了基于输入大小（通常表示为 n）完成算法所需的时间。

1. 恒定时间 – O(1):

   • 算法的执行时间不随输入大小变化。
   • 示例：通过索引访问数组中的元素，如 arr[5].

2. 对数时间 – O(log n):

   • 随着输入大小的增加，算法的执行时间呈对数增长，这意味着每一步都会将问题分成两半。
   • 示例：对排序数组进行二分搜索。

3. 线性时间 – O(n):

   • 算法的执行时间随着输入大小线性增长。
   • 示例：遍历一次包含 n 个元素的数组。

4. 线性时间 – O(n log n):

   • 在高效排序算法中很常见，其中每个元素都以对数方式处理，通常是由于递归除法和线性合并或处理。
   • 示例：归并排序、快速排序。

5. 二次时间 – O(n²):

   • 执行时间与输入大小的平方成正比。
   • 示例：嵌套循环，例如将数组中的每个元素与其他每个元素进行比较。

6. 立方时间 – O(n³):

   • 执行时间随着输入大小的立方而增长。很少见，但可能出现在具有三个嵌套循环的算法中。
   • 示例：使用暴力算法解决某些矩阵运算。

7. 指数时间 – O(2^n):

   • 输入中每增加一个元素，执行时间就会加倍，通常来自解决所有可能组合中的子问题的递归算法。
   • 示例：斐波那契数列的简单解决方案，其中每个调用都会导致另外两个调用。

8. 阶乘时间 – O(n!):

   • 执行时间随着输入大小呈阶乘增长。通常来自涉及生成所有可能的排列或组合的算法。
   • 示例：用蛮力解决旅行商问题。

空间复杂度

空间复杂度衡量算法相对于输入大小使用的内存量。

1. 恒定空间 – O(1):

   • 无论输入大小如何，算法都会使用固定数量的内存。
   • 示例：存储一些变量，例如整数或计数器。

2. 对数空间 – O(log n):

   • 内存使用量呈对数增长，这通常出现在递归算法中，每一步将问题减半。
   • 示例：递归二分搜索（由于调用堆栈而导致空间复杂度）。

3. 线性空间 – O(n):

   • 内存使用量随着输入大小线性增长，这在创建额外的数组或数据结构来存储输入时很常见。
   • 示例：创建大小为 n 的数组的副本。

4. 二次空间 – O(n²):

   • 内存使用量随着输入大小的平方而增长，例如存储大小为 n x n 的 2D 矩阵时。
   • 示例：存储具有 n 个节点的图的邻接矩阵。

5. 指数空间 – O(2^n):

   • 内存使用量随着输入大小呈指数级增长，通常在为输入的每个可能子集存储数据的递归解决方案中。
   • 示例：具有许多重叠子问题的递归算法中的记忆。

实际例子

• 线性时间 (O(n)) 和线性空间 (O(n)):

  • 迭代数组并将每个元素存储在新数组中的函数。

• 二次时间 (O(n²)) 和常数空间 (O(1)):

  • 在数组上有两个嵌套循环的函数，但除了几个变量之外不需要额外的存储。

分析复杂性

分析代码的时间和空间复杂度时：

1. 识别循环：嵌套循环通常会增加复杂性（例如，一个循环给出 ( O(n) )；两个嵌套循环给出 ( O(n^2) )）。
2. 寻找递归：递归调用可能会导致指数时间和空间复杂度，具体取决于分支因子和递归深度。
3. 考虑数据结构：使用额外的数据结构（如数组、列表或哈希映射）可能会影响空间复杂度。

一般提示

• 时间复杂度是将操作计数作为输入大小的函数。
• 空间复杂度是关于计算所需的额外内存量。

通过评估这些因素，您可以根据输入大小估计算法的执行效率以及消耗的内存量。

以上是时间复杂度和空间复杂度的详细内容。更多信息请关注PHP中文网其他相关文章！