極坐標下二重積分∫∫ydσ=0的原因是什麼？

極坐標下二重積分∬ydσ=0的巧妙證明及常見錯誤分析

本文分析一道關於極坐標下二重積分的題目，並解釋為什麼積分結果為零，以及計算過程中常見的錯誤。題目中，積分區域為極坐標方程r = ½ (⅓)sinθ描述的心形區域，被積函數為f(x,y) = y。

利用對稱性快速求解：

關鍵在於觀察被積函數和積分區域的對稱性。被積函數y是關於y軸的奇函數，即f(x,-y) = -f(x,y)。同時，心形區域關於x軸對稱。這意味著對於區域內任意一點(x,y)，點(x,-y)也在區域內。因此，在x軸上下兩部分區域上的積分值大小相等，符號相反，最終結果相互抵消，二重積分結果為零：

∬ _σ y dσ = 0

更嚴格的數學表達：

∬ σ f(x,y)dxdy = ∫dx ∫ y 0 -y 0 f(x,y)dy = 0 (因為∫ y 0 -y 0 f(x,y)dy = 0)

常見錯誤及正確解法：

許多同學嘗試使用極坐標變換直接計算，但容易出現錯誤。正確的極坐標積分步驟如下：

∬ _σ y dσ = ∫ ₀ ^2π ∫ ₀ ^{½ (⅓)sinθ} (r sinθ) * r dr dθ = ∫ ₀ ^2π ∫ ₀ ^{½ (⅓)sinθ} r² sinθ dr dθ

錯誤通常發生在對r的積分之後，對θ的積分計算上。 一些同學會錯誤地計算∫ ₀ ^2π (½ (⅓)sinθ) dθ，忽略了對常數項½的積分，或者錯誤地認為∫ ₀ ^2π sinθ dθ不等於零。

正確計算步驟：

1. 內層積分(對r積分):

∫ ₀ ^{½ (⅓)sinθ} r² sinθ dr = [⅓r³ sinθ] ₀ ^{½ (⅓)sinθ} = ⅓(½ (⅓)sinθ)³ sinθ

2. 外層積分(對θ積分):

∫ ₀ ^2π ⅓(½ (⅓)sinθ)³ sinθ dθ

這個積分雖然看起來複雜，但由於sinθ在[0, 2π]上的積分結果為0，且(½ (⅓)sinθ)³是一個關於sinθ的奇函數，因此最終結果仍然為0。

總結：利用對稱性可以快速判斷該二重積分的結果為零，避免複雜的計算。 如果必須通過極坐標積分計算，則需仔細計算內外層積分，避免常見的計算錯誤。 記住，對稱性分析是解決積分問題的一個強大工具。

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