跨程式語言的大十進制算術：彌合差距

處理高精度算術對於金融、密碼學和科學計算等領域至關重要。雖然某些程式語言為任意精度算術提供強大的本機支持，但其他程式語言則需要解決方法或第三方整合才能實現類似的功能。本文探討了跨語言的大十進制支援狀態，並討論了缺乏此功能的語言的解決方案。

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內建支援的語言

Python

• Python提供了decimal.Decimal模組，它允許任意精確度的十進制算術。它特別適合金融計算，遵循使用者定義的精度和舍入規則。
• 像 mpmath 這樣的函式庫擴展了 Python 的功能，支援高階數學函數的任意精確度浮點運算。

Java

• Java 在其標準庫中包含 BigDecimal 類，這是一個用於處理任意精度十進制數的高效能工具。它支援所有標準運算（加、減、乘、除、平方根等），廣泛應用於金融應用。

C

• C 提供了諸如 Boost Multi precision 之類的函式庫，其中包括用於任意精度十進制算術的 cpp_dec_float 和 mp_float。
• MPFR 和 GMP 也可以在 C 中使用進行極高精度算術，為乘法、除法等提供最佳化演算法。

C (GMP/MPFR)

• GNU MP (GMP) 函式庫是任意精確度算術的黃金標準。它為效能關鍵型應用提供高階演算法（例如 Karatsuba、Toom-Cook、FFT、Barrett 縮減）的高度最佳化實作。
• MPFR，基於 GMP 構建，是另一個專門從事高精度浮點運算的強大函式庫。

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支援有限的語言

許多現代程式語言（例如 Go、Node.js、Elixir）本身並不支援大十進制算術，這可能會給需要高精度的應用程式帶來挑戰。

走

• 雖然 Go 包含用於任意精確度整數和有理數的 math/big 包，但它缺乏對定點小數（如 Java 的 BigDecimal）的原生支援。像 shopspring/decimal 和 cockroachdb/apd 這樣的第三方函式庫有助於彌補差距，但與 GMP 或 Java 的 BigDecimal 相比，功能不太豐富。

Node.js (JavaScript)

• JavaScript 由於依賴 IEEE 754 雙精確度浮點數，因此精確度有限。像decimal.js或big.js這樣的函式庫模擬任意精度算術，但速度不如Python或Java中的本機實作。

靈丹妙藥

• Elixir 不包含原生大十進制算術，但提供了 Decimal 等庫，專為金融和精確十進制計算而構建。然而，這些庫缺乏 GMP 中的高階優化。

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有限支援的解決方法

1.外部函數介面 (FFI) 整合

Go、Node.js 和 Elixir 等語言可以使用 FFI 與高效能函式庫（例如 GMP、MPFR）整合。雖然這允許存取高級演算法，但由於跨語言調用，它增加了複雜性和潛在的效能開銷。

2.透過 gRPC 或 Thrift 的遠端服務

另一種方法是使用具有強大的大十進制支援的語言（例如，Python、Java 或帶有GMP 的C）創建微服務，並透過gRPC 或Thrift 公開它。主應用程式（例如，Go、Node.js 或 Elixir）可以對此服務進行 RPC 呼叫以進行高精度計算。

遠端服務的優點

• 集中實施確保正確性和一致性。
• 與在每個應用程式中嵌入 FFI 相比，更易於維護和擴充。

缺點

• 由於網路開銷而增加延遲。
• 增加了維護和監控服務的複雜性。

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實際用例：財務計算

假設金融科技應用程式是用 Node.js 或 Go 編寫的，但需要高精度運算：

• 計算數百個週期的複利。
• 以小分數匯率轉換貨幣。
• 依照嚴格的捨入規則進行稅金計算。

應用程式可以：

，而不是重新實現大十進制支持

1. 使用gRPC整合Python或Java進行後端計算。
2. 在 C 微服務中使用 GMP 或 Boost Multi precision。
3. 提供基於 REST 或 Thrift 的 API 來存取這些服務。

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大十進位運算的演算法

高精度算術函式庫，例如 GMP 和 MPFR，採用複雜的演算法進行乘法、除法和模運算等運算。這些演算法針對大量資料的效能和可擴展性進行了最佳化：

1.乘法演算法

• 經典乘法：用於較小的數字；縮放為 $(O(n^2））$(O(n2）) 時間複雜度。
• Karatsuba 演算法：一種分治演算法 $(O(n^{1.58}))$(O(n1.58）) 複雜度，用於中等規模的數字。
• Toom-Cook (Toom-3)：概括 Karatsuba 以獲得更大的輸入；縮放為 $(O(n^{{\log }_3(5)}))$(O(n日誌3( 5)）) .
• 基於 FFT 的乘法：對非常大的數使用快速傅立葉變換，其中 $(O(n(n\log n)$（O(n log n))(O(nlogn))

複雜性。

• 2.除法與模運算
• 牛頓拉夫遜法：用於透過迭代求精進行高速除法。
• Barrett Reduction：透過預先計算倒數來最佳化模運算，特別是對於大型操作數。

蒙哥馬利約簡：在加密應用上有效率地進行模乘法。

• 3.求冪 $平方求冪(O(\mathrm{lo\; g}n)$(O(log n))(O(logn))
• 複雜性。

浮點求冪：對十進制底數和指數使用泰勒級數或對數/指數轉換。

• 4.平方根與對數
• 牛頓法：常見於平方根近似。

泰勒/麥克勞林級數：用於高精度對數計算。

1. Go、Elixir 和 Node.js 缺少的演算法
   • 缺乏高階乘法
   :
   Go 的 math/big 對小整數使用經典乘法，對大整數使用 Karatsuba，但對於非常大的輸入缺乏 Toom-Cook 或 FFT。
2. Elixir 和 Node.js 依賴第三方函式庫，而這些函式庫通常缺乏 FFT 等先進技術。
   • 有限分區最佳化
   ：
3. 如果沒有 GMP 或 MPFR，Go、Elixir 和 Node.js 中的大多數實作都缺乏 Barrett 或 Montgomery 約簡，依賴較慢的迭代方法。
   不支援對數/指數函數:
   • 雖然 Python 的 mpmath 和 Java 的 BigDecimal 等函式庫提供了這些功能，但 Go、Elixir 和 Node.js 缺乏對高階數學的原生大十進位支援。

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實現高精度演算法​​的挑戰

1. 表演

   • 實作 FFT 乘法等演算法需要深入了解數值穩定性和快取局部性最佳化。
   • 平衡速度與精確度是很困難的；簡單的實作可能比 GMP 等最佳化的實作慢幾個數量級。

2. 精準處理

   • 確保除法和對數等運算的正確性需要仔細的捨入和錯誤傳播處理。
   • 在模算術中實現精確縮放（例如 Barrett 約簡）會增加複雜性。

3. 併發

   • 像 Go 和 Elixir 這樣的語言是為並發系統設計的，但精密算術本質上是順序的，需要仔細優化以避免瓶頸。

4. 記憶體管理

   • 任意精度算術需要動態分配內存，這使得 Go 和 Node.js 等垃圾收集語言的實作變得複雜。

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測量基準資料集

1. 算術精準度檢定

   • 驗證操作，例如 $(0.10.2=0.3）（0.1\; 0.2\; =\; 0.3）$(0.1 0.2=0.3)
   確保正確處理小數算術。
   • 測試邊緣情況，例如， $(\mathrm{}1{\mathrm{}}^{\mathrm{}}01010{\mathrm{}}^{\mathrm{}}099\mathrm{}=）$（ 10^{100} 10^{99} = 10)(10100÷1099=10)
2. .
   效能基準
   • 使用不同大小數字的資料集，例如， $(10^{10}）$(1010) , $(10^{100}）$(10100) ， 和 $(10^{1000})$(101000) ，測試可擴展性。
   • 將運行時和記憶體使用情況與 GMP 等函式庫進行比較。

3. 真實世界財務數據

   • 執行數千個週期的高精度複利計算。
   • 使用嚴格的捨入規則來驗證貨幣換算和稅務計算。

4. 專業數學測驗

   • 計算 $(\pi )$(π) 或者 $(\sqrt{2})$(2) 精確到數百萬位小數。
   • 使用 mpmath 等已知函式庫作為參考，以超越數執行基準測試。

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如何整合這些語言中缺少的功能

1. 將 FFI 用於 GMP 等圖書館

   • 像 Go 和 Node.js 這樣的語言可以透過 FFI 整合 GMP，但這會引入跨語言呼叫的效能開銷。

2. 建置遠端服務

   • 使用 gRPC 或 Thrift 使用 Python、Java 或 C 建立高精確度服務。
   • 確保服務為所有必要的操作提供 API（例如加法、乘法、平方根等）。

3. 第三方函式庫

   • 使用社群支援的函式庫（例如 Go 中的 shopspring/decimal 和 cockroachdb/apd 或 Node.js 中的decimal.js）作為起點。

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PHP 中的大十進位支援

本地支援

PHP 的標準庫中不包含本機大十進位算術。它依賴 bcmath（二進制計算器）擴展或 gmp 擴展來進行高精度整數和小數算術：

1. BCMath：
   • 專為任意精確度算術而設計。
   • 支援基本運算（加、減、乘、除、模和冪）。
   • 缺乏對平方根、對數或三角運算等高階函數的支援。
2. GMP：
   • 為整數提供任意精確度算術，但對小數的支援有限。

第三方函式庫

• BrickMath：PHP 中任意精確度算術的現代函式庫，支援小數和整數。
• php-decimal：實作類似Python的decimal模組或Ruby的BigDecimal的高精度十進位運算。

挑戰

• 性能：
  • 與 C 中的 GMP 或 Boost Multi precision 相比，PHP 的 bcmath 速度較慢。
  • 處理非常大或高精度的數字可能會導致效能瓶頸。
• 有限的進階功能：
  • 大多數 PHP 函式庫不提供 FFT 或 Karatsuba 等高階演算法，而是依賴基本實作。

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結論

Python、Java 和 C 等語言擅長透過成熟的函式庫支援任意精確度算術。然而，對於像 Go、Node.js 或 Elixir 這樣的語言，透過 FFI 整合外部程式庫或利用基於 RPC 的服務是一個實用的解決方案。這些方法確保這些語言的應用程式能夠滿足金融和科學研究等領域所需的高精度和正確性，而不受其本機庫的限制。

透過結合多種語言的優勢，開發人員可以建立高效且精確的可靠系統。

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這是使用 GMP 和 MPFR 庫 以及 CMake 建立 C 專案的逐步指南。

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1. 資料夾結構

gmp-mpfr-project/
├── CMakeLists.txt
├── src/
│   ├── main.cpp
└── build/ (Generated by CMake)

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2. CMakeLists.txt

cmake_minimum_required(VERSION 3.10)
project(GMP_MPFR_Example)

# Set C++ standard
set(CMAKE_CXX_STANDARD 17)
set(CMAKE_CXX_STANDARD_REQUIRED ON)

# Find GMP library
find_package(GMP REQUIRED)
find_package(MPFR REQUIRED)

# Include directories for GMP and MPFR
include_directories(${GMP_INCLUDE_DIR} ${MPFR_INCLUDE_DIR})

# Add executable
add_executable(gmp_mpfr_example src/main.cpp)

# Link libraries
target_link_libraries(gmp_mpfr_example PRIVATE ${GMP_LIBRARIES} ${MPFR_LIBRARIES})

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3. src/main.cpp

一個簡單的範例，示範 GMP 和 MPFR 函式庫的基本用法。

#include <iostream>
#include <gmp.h>
#include <mpfr.h>

int main() {
    // GMP example: Factorial computation
    mpz_t factorial;
    mpz_init(factorial);
    mpz_fac_ui(factorial, 20); // Compute 20!
    std::cout << "20! = " << mpz_get_str(nullptr, 10, factorial) << std::endl;
    mpz_clear(factorial);

    // MPFR example: High-precision computation
    mpfr_t pi;
    mpfr_init2(pi, 256); // 256-bit precision
    mpfr_const_pi(pi, MPFR_RNDN); // Compute pi
    std::cout << "Pi = ";
    mpfr_out_str(stdout, 10, 0, pi, MPFR_RNDN);
    std::cout << std::endl;
    mpfr_clear(pi);

    return 0;
}

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4. 建置與運作步驟

一個。安裝庫

確保已安裝 GMP 和 MPFR 庫。在 Linux 上：

sudo apt update
sudo apt install libgmp-dev libmpfr-dev

b.使用 CMake 配置和構建

cd gmp-mpfr-project
mkdir build
cd build
cmake ..
make

c.運行範例

./gmp_mpfr_example

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輸出

20! = 2432902008176640000
Pi = 3.1415926535897932384626433832795028841971693993751

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