我們如何遞歸生成集合的所有分區？

分割集合：遞歸方法

找出集合的所有分區的任務在電腦科學和數學中經常出現。分區將集合劃分為不相交的子集，這些子集共同包含原始集合的所有元素。

首先，讓我們考慮一個更簡單的問題：將集合分成兩個子集。對於 n 元素集，我們可以使用二進位位元遮罩來表示分區。每個位元對應於集合中的一個元素，其中 0 表示放置在第一個子集中，1 表示放置在第二個子集中。這確保每個元素都準確地分配給一個子集。

為了處理第一個子集中第一個元素的存在，我們只考慮第一位為 0 的位元遮罩。這將位元遮罩的數量減少到 2 ^(n-1).

為了推廣這種方法，我們可以遞歸地將一個集合劃分為多個子集。我們從所有兩部分分區開始，然後將第二個子集分成兩部分，然後是第三個子集，依此類推。此遞歸過程會產生所有可能的分割區。

以下是 C# 中的範例實現，它為給定數組產生所有分區：

using System;
using System.Collections.Generic;

namespace Partitioning
{
    public static class Program
    {
        public static IEnumerable<T[][]> GetAllPartitions<T>(T[] elements)
        {
            return GetAllPartitions(new T[][] { }, elements);
        }

        private static IEnumerable<T[][]> GetAllPartitions<T>(T[][] fixedParts, T[] suffixElements)
        {
            // Trivial partition: fixed parts followed by remaining elements as one block
            yield return fixedParts.Concat(new[] { suffixElements }).ToArray();

            // Get all two-part partitions of suffix elements and subdivide recursively
            var suffixPartitions = GetTuplePartitions(suffixElements);

            foreach (Tuple<T[], T[]> suffixPartition in suffixPartitions)
            {
                var recursivePartitions = GetAllPartitions(fixedParts.Concat(new[] { suffixPartition.Item1 }).ToArray(), suffixPartition.Item2);
                foreach (T[][] partition in recursivePartitions)
                {
                    yield return partition;
                }
            }
        }

        private static IEnumerable<Tuple<T[], T[]>> GetTuplePartitions<T>(T[] elements)
        {
            if (elements.Length < 2)
                yield break;

            for (int pattern = 1; pattern < 1 << (elements.Length - 1); pattern++)
            {
                List<T>[] resultSets = { new List<T> { elements[0] }, new List<T>() };

                for (int index = 1; index < elements.Length; index++)
                {
                    resultSets[(pattern >> (index - 1)) & 1].Add(elements[index]);
                }

                yield return Tuple.Create(resultSets[0].ToArray(), resultSets[1].ToArray());
            }
        }
    }
}

使用元素數組呼叫 GetAllPartitions 會產生所有可能的分區對於那一套。

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