時間複雜度與空間複雜度

一般來說，時間複雜度和空間複雜度是衡量演算法效率的方法，基於演算法的資源使用量隨演算法的變化而變化。其輸入的大小。讓我們回顧一下基礎知識和一些常見範例。

時間複雜度

時間複雜度描述了基於輸入大小（通常表示為 n）完成演算法所需的時間。

1. 恆定時間 – O(1):

   • 演算法的執行時間不隨輸入大小而變化。
   • 範例：透過索引存取陣列中的元素，如 arr[5].

2. 對數時間 – O(log n):

   • 隨著輸入大小的增加，演算法的執行時間呈對數增長，這意味著每一步都會將問題分成兩半。
   • 範例：對排序數組進行二分搜尋。

3. 線性時間 – O(n):

   • 演算法的執行時間隨著輸入大小線性增長。
   • 範例：遍歷一次包含 n 個元素的陣列。

4. 線性時間 – O(n log n):

   • 在高效排序演算法中很常見，其中每個元素都以對數方式處理，通常是由於遞歸除法和線性合併或處理。
   • 範例：歸併排序、快速排序。

5. 二次時間 – O(n²):

   • 執行時間與輸入大小的平方成正比。
   • 範例：巢狀循環，例如將陣列中的每個元素與其他每個元素進行比較。

6. 立方時間 – O(n³):

   • 執行時間隨著輸入大小的立方而成長。很少見，但可能出現在具有三個嵌套循環的演算法中。
   • 範例：使用暴力演算法解決某些矩陣運算。

7. 指數時間 – O(2^n):

   • 輸入中每增加一個元素，執行時間就會加倍，通常來自解決所有可能組合中的子問題的遞歸演算法。
   • 範例：斐波那契數列的簡單解決方案，其中每個呼叫都會導致另外兩個呼叫。

8. 階乘時間 – O(n!):

   • 執行時間隨著輸入大小呈階乘增長。通常來自涉及生成所有可能的排列或組合的演算法。
   • 範例：用蠻力解決旅行商問題。

空間複雜度

空間複雜度衡量演算法相對於輸入大小所使用的記憶體量。

1. 恆定空間 – O(1):

   • 無論輸入大小如何，演算法都會使用固定數量的記憶體。
   • 範例：儲存一些變量，例如整數或計數器。

2. 對數空間 – O(log n):

   • 記憶體使用量呈對數成長，這通常出現在遞歸演算法中，每一步將問題減半。
   • 範例：遞歸二分搜尋（由於呼叫堆疊而導致空間複雜度）。

3. 線性空間 – O(n):

   • 記憶體使用量隨著輸入大小線性增長，這在創建額外的數組或資料結構來儲存輸入時很常見。
   • 範例：建立大小為 n 的陣列的副本。

4. 二次空間 – O(n²):

   • 記憶體使用量隨著輸入大小的平方而成長，例如儲存大小為 n x n 的 2D 矩陣時。
   • 範例：儲存具有 n 個節點的圖的鄰接矩陣。

5. 指數空間 – O(2^n):

   • 記憶體使用量隨著輸入大小呈指數級增長，通常在為輸入的每個可能子集儲存資料的遞歸解決方案中。
   • 範例：具有許多重疊子問題的遞歸演算法中的記憶。

實際例子

• 線性時間 (O(n)) 與線性空間 (O(n)):

  • 迭代數組並將每個元素儲存在新數組中的函數。

• 二次時間 (O(n²)) 與常數空間 (O(1)):

  • 在陣列上有兩個巢狀循環的函數，但除了幾個變數之外不需要額外的儲存。

分析複雜性

分析程式碼的時間和空間複雜度時：

1. 辨識循環：嵌套循環通常會增加複雜性（例如，一個循環給出 ( O(n) )；兩個嵌套循環給出 ( O(n^2) )）。
2. 尋找遞歸：遞歸呼叫可能會導致指數時間和空間複雜度，這取決於分支因子和遞歸深度。
3. 考慮資料結構：使用額外的資料結構（如陣列、列表或雜湊映射）可能會影響空間複雜度。

一般提示

• 時間複雜度是將操作計數作為輸入大小的函數。
• 空間複雜度是關於計算所需的額外記憶體量。

透過評估這些因素，您可以根據輸入大小估計演算法的執行效率以及消耗的記憶體量。

以上是時間複雜度與空間複雜度的詳細內容。更多資訊請關注PHP中文網其他相關文章！