Penggantian Pembolehubah Integral Curve: Bagaimana untuk menukar $ \ int_0^1 \ frac {y^2} {\ sqrt {1-y^2}} dy $ to $ \ int_0^{\ frac {\ pi} {2}} \ sin^2tdt $?

Penjelasan terperinci mengenai penggantian pembolehubah integral lengkung: Memudahkan integral kualitatif

Artikel ini menerangkan secara terperinci bagaimana untuk mempermudahkan integral tetap $ \ int_0^1 \ frac {y^2} {\ sqrt {1-y^2}} dy $ to $ \ int_0^{\ frac {\ pi}}}} Ramai pelajar akan menghadapi kesukaran dalam menangani perkara tersebut.

Ia bukan transformasi koordinat kutub, tetapi kaedah penggantian pembolehubah mudah dapat diselesaikan. Kuncinya ialah memilih pemboleh ubah pengganti yang betul.

Langkah Penyelesaian Masalah:

Kami memilih untuk menggantikan pembolehubah $ y = \ sin (t) $. Oleh kerana selang integral asal ialah $ 0 \ le y \ le 1 $, selang $ T $ yang sepadan ialah $ 0 \ le t \ le \ frac {\ pi} {2} $. Dalam selang ini, kedua-dua $ \ sin (t) $ dan $ \ cos (t) $ tidak negatif.

1. Ganti pembolehubah: pengganti $ y = \ sin (t) $ ke formula integral asal: $ \ int_0^1 \ frac {y^2} {\ sqrt {1-y^2}} dy $

2. Had Mata Penggantian: Apabila $ y = 0 $, $ t = 0 $; Apabila $ y = 1 $, $ t = \ frac {\ pi} {2} $.

3. Kirakan perbezaan: derivatif untuk $ y = \ sin (t) $ untuk mendapatkan $ dy = \ cos (t) dt $

4. Gantikan formula integral: pengganti $ y = \ sin (t) $ dan $ dy = \ cos (t) dt $ ke formula integral asal:

   $ \ int_0^{\ frac {\ pi} {2}} \ frac {\ sin^2t} {\ sqrt {1- \ sin^2t}} \ cos (t) dt $

5. Penyederhanaan: Sejak $ 1 - \ sin^2t = \ cos^2t $ dan dalam selang $ 0 \ le t \ le \ frac {\ pi} {2} $$$, $ \ cos (t) \ ge 0 $, jadi $ \ sqrt {1- \ cos (t) $. Selepas menggantikan, formula integral menjadi:

   $ \ int_0^{\ frac {\ pi} {2}} \ frac {\ sin^2t} {\ cos (t)} \ cos (t) dt $

6. Hasil akhir: Selepas penyederhanaan, kami mendapat:

   $ \ int_0^{\ frac {\ pi} {2}} \ sin^2t dt $

Melalui penggantian pembolehubah pintar ini, kami berjaya memudahkan integral yang kompleks ke dalam bentuk yang lebih mudah dikira. Ingatlah bahawa memilih pemboleh ubah pengganti yang betul dan mengendalikan had integral dan istilah pembezaan dengan betul adalah kunci untuk menyelesaikan masalah.

Atas ialah kandungan terperinci Penggantian Pembolehubah Integral Curve: Bagaimana untuk menukar $ \ int_0^1 \ frac {y^2} {\ sqrt {1-y^2}} dy $ to $ \ int_0^{\ frac {\ pi} {2}} \ sin^2tdt $?. Untuk maklumat lanjut, sila ikut artikel berkaitan lain di laman web China PHP!